1香川大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(1) $f(x)=x^4+x^3=x^3(x+1)$ であり、$f'(x)=x^2(4x+3)$、$f''(x)=6x(2x+1)$。$f'$ は $x<-3/4$ で負、$x>-3/4$ で正（ただし $x=0$ で0）だから、$x=-3/4$ で極小となる。$f(-3/4)=-27/256$。$x=0$ の前後で増加は変わらない。$f''$ の符号は $x<-1/2$ で正、$-1/2<x<0$ で負、$x>0$ で正なので、変曲点は $(-1/2,-1/16)$、$(0,0)$ である。$x$切片は $(-1,0)$、$(0,0)$。両端で $f(x)\to+\infty$ となる。これらを用いて、$(-1,0)$を通って極小点まで下がり、以後は原点で水平接線をもって上昇するグラフを描く。

(2) $PR$ の中点を $M$ とすると、$Q,M$ はともに $x=t$ 上にあり、$QM$ の長さは $|f(t)-(f(t-1)+f(t+1))/2|$ である。$P,R$ から直線 $QM$ までの横方向の距離はいずれも1なので、三角形 $PQR$ の面積は、底辺 $QM$ を共有する二つの三角形の面積の和として $$\displaystyle S(t)=\frac12\left|2f(t)-f(t-1)-f(t+1)\right|.$$ 四次式と三次式の差分を計算すると $$f(t+1)+f(t-1)-2f(t)=12t^2+6t+2.$$ この二次式の判別式は $6^2-4\cdot12\cdot2=-60<0$ で、常に正である。したがって $$\displaystyle S(t)=\frac12(12t^2+6t+2)=6t^2+3t+1.$$

(3) 平方完成して $$\displaystyle S(t)=6\left(t+\frac14\right)^2+\frac58.$$ よって最小値は $\displaystyle \frac58$ であり、$\displaystyle t=-\frac14$ のときにとる。

(1) 一次導関数 $f'(x)=x^2(4x+3)$ で増減と極小を、二次導関数 $f''(x)=6x(2x+1)$ で凹凸と変曲点を確認する。$x=0$では導関数の符号は変わらず、二次導関数の符号が変わるため水平変曲点である。(2) 横座標が等間隔の3点なので、三角形の面積は二階差分の絶対値の半分であり、$S(t)=6t^2+3t+1$。(3) 平方完成 $\displaystyle S(t)=6(t+\frac14)^2+\frac58$ から最小値を得る。