7長崎大学 2011年 数学 第7問解答・解説

(1) 円の式を平方完成すると $(x-\sqrt{3})^2+(y-2)^2=4$。$y=0$ では $x=\sqrt{3}$、$x=0$ では $y=1,3$。放物線では $x=0$ から $y=1$、$y=0$ から $x^2-x/\sqrt{3}-2=0$ を得て、$x=\sqrt{3},-2/\sqrt{3}$。従って共有点は $C_1$ が $(\sqrt{3},0),(0,1),(0,3)$、$C_2$ が $(\sqrt{3},0),(-2/\sqrt{3},0),(0,1)$。

(2) $p(x)=-x^2/2+x/(2\sqrt{3})+1$ とする。平方完成から $p(x)\leq25/24<2$。一方、円の上側境界は少なくとも2なので放物線は常にその下にある。円の式に $y=p(x)$ を代入し $t=x/\sqrt{3}$ と置くと、左辺は $\displaystyle \frac14t(t-1)(9t^2+3t+28)$。 二次式 $9t^2+3t+28$ の判別式は $3^2-4\cdot9\cdot28=-999<0$ で、最高次係数 $9>0$ だから常に正であるため、円の内部かつ $y\leq p(x)$ を満たすのは $0\leq x\leq\sqrt{3}$ で、円の下側弧と放物線にはさまれた部分である。

放物線の下の面積は $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}}p(x)\,dx=\left[-x^3/6+x^2/(4\sqrt{3})+x\right]_0^{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}/4$。 円の下側弧を $A=(0,1)$ から $B=(\sqrt{3},0)$ まで取る。円の中心 $O=(\sqrt{3},2)$、半径2で、$OA=OB=2$ かつ $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2$ より中心角は $\pi/3$。扇形から三角形を引いた弦 $AB$ と小弧間の面積は $2\pi/3-\sqrt{3}$。弦 $AB$ と $x$ 軸で囲まれる三角形は $\sqrt{3}/2$ なので、円弧と $x$ 軸の間の面積は $3\sqrt{3}/2-2\pi/3$。従って領域 $D$ の面積は $S=3\sqrt{3}/4-(3\sqrt{3}/2-2\pi/3)=2\pi/3-3\sqrt{3}/4$。

(3) $D$ では $0\leq x\leq\sqrt{3}$ かつ $y\leq p(x)$。よって $x+y\leq x+p(x)=-x^2/2+(1+1/(2\sqrt{3}))x+1$。平方完成すると $\displaystyle -\frac12(x-1-1/(2\sqrt{3}))^2+37/24+\sqrt{3}/6$。 頂点 $x_*=1+1/(2\sqrt{3})$ は $0\le x_*\le\sqrt3$ を満たし、$p(x_*)=13/24$。さらに 点$(x_*,p(x_*))$が領域Dに含まれるので上界が達成される。したがって最大値は $37/24+\sqrt{3}/6$。

(1) 円の式を平方完成すると (x−√3)²+(y−2)²=4。y=0ではx=√3、x=0ではy=1,3。放物線ではx=0からy=1、y=0から x²−x/√3−2=0 を得て、x=√3,−2/√3。従って共有点はC1が(√3,0),(0,1),(0,3)、C2が(√3,0),(−2/√3,0),(0,1)。

(2) p(x)=−x²/2+x/(2√3)+1 とする。平方完成から p(x)≦25/24<2。一方、円の上側境界は少なくとも2なので放物線は常にその下にある。円の式に y=p(x) を代入し t=x/√3 と置くと、左辺は (1/4)t(t−1)(9t²+3t+28)。二次式 $9t^2+3t+28$ の判別式は $-999<0$ で、最高次係数 $9>0$ だから常に正であるため、円の内部かつ y≦p(x) を満たすのは0≦x≦√3で、円の下側弧と放物線にはさまれた部分である。

放物線の下の面積は ∫₀^√3 p(x)dx=3√3/4。円の下側弧をA=(0,1)からB=(√3,0)まで取る。円の中心O=(√3,2)、半径2で、OA=OB=2かつ OA・OB=2 より中心角はπ/3。扇形から三角形を引いた弦ABと小弧間の面積は2π/3−√3。弦ABとx軸で囲まれる三角形は√3/2なので、円弧とx軸の間の面積は3√3/2−2π/3。従って領域Dの面積は S=3√3/4−(3√3/2−2π/3)=2π/3−3√3/4。

(3) Dでは0≦x≦√3かつy≦p(x)。よって x+y≦x+p(x)=−x²/2+(1+1/(2√3))x+1。平方完成すると −(1/2)(x−1−1/(2√3))²+37/24+√3/6。頂点x*=1+1/(2√3)は0≦x*≦√3を満たし、p(x*)=13/24。さらにx*はDのx範囲内にあるので点(x*,p(x*))は領域Dに含まれ、上界が達成される。したがって最大値は37/24+√3/6。