8長崎大学 2011年 数学 第8問解答・解説

(1) $f(x)=\log x$ とおくと、$f'(x)=1/x$ より、$x=k$ における接線 $l_k$ は $$\displaystyle y=\log k+\frac{x-k}{k}$$ である。したがって、$B_k'$、$C_k'$ の高さはそれぞれ $$\displaystyle \log k-\frac{1}{2k},\qquad \log k+\frac{1}{2k}$$ となる。$k\ge2$ では $\displaystyle \log k\ge\log2=\int_1^2\frac{dx}{x}>\frac12\ge\frac{1}{2k}$ だから、これらはともに正である。平行な辺の間隔は $1$ なので、台形の面積は $$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\log k-\frac{1}{2k}+\log k+\frac{1}{2k}\right)\cdot1=\log k.$$

(2) ア）$x=k$ における接線の式を $T(x)=\log k+(x-k)/k$ とする。問題文の性質より、$\displaystyle k-\frac12\le x\le k+\frac12$ の範囲 で $\log x\le T(x)$ であり、等号は $x=k$ のときだけである。よって $$\displaystyle \int_{k-\frac12}^{k+\frac12}\log x\,dx<\int_{k-\frac12}^{k+\frac12}T(x)\,dx=\log k,$$ 最後の等号では、$(x-k)/k$ の積分が対称性により $0$ となることを用いた。

イ）$k\le x\le k+1$ の範囲の両端で $\log x$ と一致する一次関数を $$L(x)=\log k+(x-k)\bigl(\log(k+1)-\log k\bigr)$$ とする。$H(x)=\log x-L(x)$ とおけば、$H(k)=H(k+1)=0$ かつ $H''(x)=-1/x^2<0$ である。したがって、$k<x<k+1$ では $H(x)>0$、すなわち $\log x>L(x)$ である。これを積分すると $$\displaystyle \int_k^{k+1}\log x\,dx>\int_k^{k+1}L(x)\,dx=\frac{\log k+\log(k+1)}{2}.$$

(3) $\displaystyle \log(n!)=\sum\limits _{j=1}^{n}\log j$ かつ $\log1=0$ より $$\displaystyle a_n=\sum\limits _{k=2}^{n-1}\log k+\frac12\log n.$$ (2)ア）を各 $k=2,\ldots,n-1$ に適用し、さらに $\log x<\log n$（$\displaystyle n-\frac12\le x<n$）より $$\displaystyle \int_{n-\frac12}^{n}\log x\,dx<\frac12\log n.$$ $\displaystyle \frac32\le x\le n$ の範囲 は $\displaystyle k-\frac12\le x\le k+\frac12$ の範囲（$k=2,\ldots,n-1$）と $\displaystyle n-\frac12\le x\le n$ の範囲 に分かれるから、これらを足し合わせて $$\displaystyle \int_{\frac32}^{n}\log x\,dx<a_n$$ を得る。$n=2$ のときも和の部分は空で、最後の区間の不等式がそのまま成り立つ。

一方、端点の項をまとめると $$\displaystyle a_n=\sum\limits _{k=1}^{n-1}\frac{\log k+\log(k+1)}{2}.$$ (2)イ）を $k=1,\ldots,n-1$ について足せば $$\displaystyle a_n<\sum\limits _{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1}\log x\,dx=\int_1^n\log x\,dx.$$ 以上により、(3)の不等式が示された。

(4) (3)の各辺に $\displaystyle \frac12\log n$ を加える。$\displaystyle \log(n!)=a_n+\frac12\log n$ であり、$x\log x-x$ の導関数は $\log x$ だから、 $$\displaystyle \begin{aligned} \log(n!)&>\int_{\frac32}^{n}\log x\,dx+\frac12\log n\\ &=n\log n-n-\left(\frac32\log\frac32-\frac32\right)+\frac12\log n\\ &=\left(n+\frac12\right)\log n-n+\frac32\left(1-\log\frac32\right)=U_n, \end{aligned}$$ また $$\displaystyle \begin{aligned} \log(n!)&<\int_1^n\log x\,dx+\frac12\log n\\ &=n\log n-n+1+\frac12\log n\\ &=\left(n+\frac12\right)\log n-n+1=V_n. \end{aligned}$$ ゆえに $U_n<\log(n!)<V_n$ である。

接線と弦を用いた対数関数と定積分の比較を行い、階乗の対数を区間ごとの和に対応させる。(3)の評価に半分の対数項を加えて(4)を得る。