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長崎大学／2011年度／前期

長崎大学 2011年 数学 第2問解答・解説

数と式図形と方程式図形の性質ベクトル

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1問題

長崎大学2011年度第2問

【表紙共通指示】医学部志願者は問題2・4・7・8に解答する。

2　3辺の長さが AB=4, BC=3, CA=5AB=4,\ BC=3,\ CA=5 である直角三角形 ABCABC と，その内側にあって2辺 ABAB および ACAC に接する円 OO を考える。この円の半径を rr とし，中心 OO から ABAB に引いた垂線と ABAB との交点を HH とする。また，ベクトル AB→, AC→\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC} と同じ向きで大きさが1のベクトルを，それぞれ u⃗, v⃗\vec{u},\ \vec{v} とし，AH→=tu⃗ (t>0)\overrightarrow{AH}=t\vec{u}\ (t>0) とする。次の問いに答えよ。

(1) 直線 AOAO と辺 BCBC の交点を MM とするとき，ベクトル AM→\overrightarrow{AM} を u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} を用いて表せ。

(2) ベクトル u⃗,v⃗\vec{u},\vec{v} の内積 u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} を求め，ベクトル AO→\overrightarrow{AO} と HO→\overrightarrow{HO} を，それぞれ u⃗,v⃗\vec{u},\vec{v} および tt を用いて表せ。また，円 OO の半径 rr を tt で表せ。

(3) 円 OO が辺 BCBC にも接するとき，その中心を II とする。すなわち，II は三角形 ABCABC の内心である。そのときの tt の値と，内接円 II の半径を求めよ。

(4) 円 OO と内接円 II が共有点をもたないような tt の範囲を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    AM=(20/9)(u+v)AM=(20/9)(u+v)
  • (2)
    u⋅v=4/5;AO=(5t/9)(u+v);HO=−(4t/9)u+(5t/9)v;r=t/3u·v=4/5; AO=(5t/9)(u+v); HO=−(4t/9)u+(5t/9)v; r=t/3
  • (3)
    t=3,rI=1t=3, r_I=1
  • (4)
    0<t<11−2103\displaystyle 0<t<\frac{11-2\sqrt{10}}{3} または t>11+2103\displaystyle t>\frac{11+2\sqrt{10}}{3}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答 (1) 角の二等分線定理より BM:MC=4:5BM:MC=4:5。従って AM→=59AB→+49AC→=209(u⃗+v⃗)\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac59\overrightarrow{AB}+\frac49\overrightarrow{AC}=\frac{20}{9}(\vec u+\vec v)。

(2) BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} と AB⊥BCAB\perp BC から u⃗⋅v⃗=∣AB∣/∣AC∣=4/5\vec u\cdot\vec v=|AB|/|AC|=4/5。Oは角の二等分線上なので AO→=λ(u⃗+v⃗)\overrightarrow{AO}=\lambda(\vec u+\vec v)。OH⊥ABOH\perp AB より (AO→−tu⃗)⋅u⃗=0(\overrightarrow{AO}-t\vec u)\cdot\vec u=0，従って 9λ/5=t9\lambda/5=t，すなわち AO→=5t9(u⃗+v⃗),HO→=−4t9u⃗+5t9v⃗.\displaystyle \overrightarrow{AO}=\frac{5t}{9}(\vec u+\vec v),\qquad \overrightarrow{HO}=-\frac{4t}{9}\vec u+\frac{5t}{9}\vec v. 内積を計算すると ∣HO∣2=t2/9|HO|^2=t^2/9 なので r=t/3r=t/3。

(3) 三角形の面積は6，半周長は6だから内接円半径 rI=1r_I=1。同じ式 r=t/3r=t/3 より t=3t=3。

(4) ∣u⃗+v⃗∣=310/5|\vec u+\vec v|=3\sqrt{10}/5 なので，O,I間距離は d=10∣t−3∣/3d=\sqrt{10}|t-3|/3。円が交わらない条件は d>r+1d>r+1 または d<∣r−1∣d<|r-1|。後者は 10∣t−3∣>∣t−3∣\sqrt{10}|t-3|>|t-3| と矛盾（t=3t=3なら円は一致）。前者は 10∣t−3∣>t+3\sqrt{10}|t-3|>t+3 で，場合分けして 0<t<11−2103またはt>11+2103.\displaystyle 0<t<\frac{11-2\sqrt{10}}3\quad\text{または}\quad t>\frac{11+2\sqrt{10}}3.

この問題で使う考え方

  • 角の二等分線定理
  • 内積と垂直条件
  • 二円の共有点条件

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