3東京大学 2019年 数学 第3問解答・解説

平面 $\alpha$ の方程式

$M=(1,1,0),\ N=(1,-1,0)$ なので、$\overrightarrow{MN}=(0,-2,0)$ は $y$ 軸方向である。また $\overrightarrow{AE}=(-2,0,-2)$ は $(1,0,1)$ に平行である。この二方向を含み $M$ を通る平面では $x-z$ が一定で、$M$ を代入した値は $1$。よって $$\alpha:\ x-z=1.$$

(1) $y=0$ による切り口

$y=0$ と底面 $ABCD$ の交わりは対角線 $AC$、また $P,E$ はともに $y=0$ にある。したがって八面体の切り口は、$(x,z)$ 平面で $P(p,2), A(2,0), E(0,-2), C(-2,0)$ をこの順に結ぶ四角形である。平面 $\alpha$ と $y=0$ の交線は $$x-z=1\quad(\text{すなわち }z=x-1).$$ 図では点線で交線全体を示し、八面体の切り口内部にある部分を赤線で示す。内部部分の端点は、$T=CE\cap\alpha=(-1/2,-3/2)$ と、$2<p<3$ では $$\displaystyle U=PA\cap\alpha=\left(\frac{6-p}{4-p},\frac{2}{4-p}\right),$$ $p=3$ では $P=(3,2)$、$3<p<4$ では $$\displaystyle V=PC\cap\alpha=\left(1+\frac6p,\frac6p\right)$$ である。

(2) 切り口が八角形となる $p$ の範囲

平面の左辺から $1$ を引いた $f(x,y,z)=x-z-1$ の各頂点での値は $$f(A)=f(E)=1,\quad f(B)=f(D)=-1,\quad f(C)=-3,\quad f(P)=p-3.$$ 平面は辺の両端で $f$ の符号が異なる辺を横切る。$2<p<3$ では $PA,AB,AD,EB,EC,ED$ の6辺を横切るので切り口は六角形である。$p=3$ では $P$ が平面上にあり、$PB,PC,PD$ との交点がすべて $P$ に重なるため、頂点は6個のままである。$3<p<4$ では $$AB,AD,PB,PC,PD,EB,EC,ED$$ の8辺を横切る。問題で $2<p<4$ とされているから、求める範囲は $$3<p<4.$$

(3) $(y,z)$ 平面上の面積

$3<p<4$ とする。八面体の $0\le z\le2$ の部分は、頂点 $P$ と底面 $ABCD$ が作る角錐である。底面の点を $(u,v,0)$ とすると $|u|+|v|\le2$ であり、高さ $z$ の断面上では $$\displaystyle (x,y)=\frac z2(p,0)+\left(1-\frac z2\right)(u,v).$$ 従ってこの高さでの条件は $$\displaystyle \left|x-\frac p2z\right|+|y|\le2-z.$$ $\alpha$ 上では $x=z+1$。さらに $y\ge0$ とすると、動く範囲は $$\displaystyle 0\le z\le2,\qquad 0\le y\le2-z-\left|1-\frac{p-2}{2}z\right|.$$ 上端が折れ曲がる高さと $y=0$ に戻る高さを $$\displaystyle z_0=\frac{2}{p-2},\qquad z_1=\frac6p$$ とおく。$3<p<4$ だから $0<z_0<z_1<2$。上端の高さは $$\displaystyle y_{\max}=\begin{cases} 1+\dfrac{p-4}{2}z,&0\le z\le z_0,\\[2mm] 3-\dfrac p2z,&z_0\le z\le z_1. \end{cases}$$ 中間点の高さを $\displaystyle h_0=y_{\max}(z_0)=\dfrac{2(p-3)}{p-2}$ とすると、$(y,z)$ 領域は頂点 $(0,0),(1,0),(h_0,z_0),(0,z_1)$ の四角形である。二つの台形に分けた面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\frac{z_0}{2}(1+h_0)+\frac{z_1-z_0}{2}h_0 =\frac12(z_0+z_1h_0)\\ &=\frac{1}{p-2}+\frac{6(p-3)}{p(p-2)} =\frac{7p-18}{p(p-2)}. \end{aligned}$$

答 $$\displaystyle (1)\ \alpha\cap\{y=0\}:x-z=1\text{（切り口内部では図の赤線）},\qquad (2)\ 3<p<4,\qquad (3)\ S=\frac{7p-18}{p(p-2)}.$$

平面 $\alpha$ は $x-z=1$。$y=0$ 断面はP,A,E,Cの順の四角形で、$\alpha$ の交線はその平面で $z=x-1$ となる。$p=3$ を境に交線の切り口内端点がPA上からPC上へ移り、$p=3$ ではPを通るため図は3場合を示す。$\alpha$ 切断面が八角形となる範囲は、各頂点で $x-z-1$ の符号を調べると $3<p<4$。上側の角錐を高さzで切ると $\displaystyle |x-\frac{pz}{2}|+|y|\le2-z$。$\alpha$ で $x=z+1$ を代入した $(y,z)$ 領域は折れ線を上端とする四角形で、その面積は $\displaystyle \frac{7p-18}{p(p-2)}$。公式の出題書誌により東京大学理科三類前期の対象冊子とPDF同一性を確認し、医学科採用可能と判定した。