鳥取大学 2019年数学第I問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

鳥取大学2019年度第I問

三角形 $ABC$ の辺 $AC$ を $1:2$ に内分する点を $Q$ ，辺 $BC$ を $m:n\;(m>0,n>0)$ に内分する点を $P$ ，線分 $AP$ と線分 $BQ$ の交点を $R$ とする。点 $R$ を通る直線が，辺 $AB,AC$ とそれぞれ点 $D,E$ で交わるものとする。

$\displaystyle k=\dfrac{AB}{AD}+\dfrac{AC}{AE}$

とする。 $k$ が点 $D$ の線分 $AB$ 上での位置によらず一定であるとき， $k$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$k\quad$ が一定となるのは $\quad m=n\quad$ のときで、その値は $\quad 4\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$D=(d,0)$ , $E=(0,e)$ とおくと、直線 $DE$ は $x/d+y/e=1$ 。 $alpha=1/d=AB/AD$ , $\beta=1/e=AC/AE$ とおけば、点 $R$ が直線 $DE$ 上にあることより $\displaystyle n\alpha+m\beta=n+3m, \qquad k=\alpha+\beta=3+\frac nm+\left(1-\frac nm\right)\alpha.$ $D$ が線分 $AB$ 上を動くと $\alpha$ は変化する。さらに任意の $0<\varepsilon<m/n$ に対して $\alpha=1+\varepsilon$ とすれば $d=1/\alpha$ は $AB$ の内点に対応し、 $\beta=3-(n/m)\varepsilon>2$ なので $e=1/\beta$ も $AC$ の内点となる。したがって $\alpha$ は実際に区間上を動く。

よって $k$ が $D$ の位置によらず一定となるための条件は、 $\alpha$ の係数が0となること、すなわち $m=n$ である。そのとき $\boxed{k=4}.$

この問題で使う考え方

位置ベクトル
内分点の座標
直線の切片式

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。