III鳥取大学 2019年 数学 第III問解答・解説

曲線$C$上の点の極座標を$(r,\theta)$、直交座標を$(x,y)$とする。すると$x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$、$r^2=x^2+y^2$である。

(1) $r>0$では、与式から $$r\left(4-3\cos^2\theta\right)=4\cos\theta$$ である。$\cos\theta=x/r$を代入して両辺に$r$を掛けると $$4r^2-3x^2=4x.$$ よって$r^2=x^2+y^2$より $$x^2+4y^2=4x,\qquad (x-2)^2+4y^2=4.$$ また、$-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2$では$x=r\cos\theta\geq0$であり、この楕円の全体は$x\geq0$にある。端点$\theta=\pm\pi/2$は原点に対応するので、これが曲線$C$の直交座標表示である。

(2) 楕円の式から、$0\leq x\leq4$における上半分の高さは$$\displaystyle y=\sqrt{1-\frac{(x-2)^2}{4}}$$である。これを$x$軸の周りに回転した立体の断面は半径$y$の円だから、 $$\displaystyle \begin{aligned}V_x&=\pi\int_0^4 y^2\,dx\\&=\pi\int_0^4\left(1-\frac{(x-2)^2}{4}\right)dx\\&=\pi\left(4-\frac{1}{4}\cdot\frac{16}{3}\right)=\frac{8\pi}{3}.\end{aligned}$$

(3) $x$の位置にある幅$dx$の縦長の部分を$y$軸の周りに回転すると、半径$x$、高さ$2y$の円筒殻になる。したがって $$\displaystyle V_y=2\pi\int_0^4 x\cdot 2\sqrt{1-\frac{(x-2)^2}{4}}\,dx.$$ $t=(x-2)/2$と置くと、$x=2+2t$、$dx=2dt$、積分区間は$-1\leq t\leq1$となり、 $$\displaystyle \begin{aligned}V_y&=16\pi\int_{-1}^{1}(1+t)\sqrt{1-t^2}\,dt\\&=16\pi\int_{-1}^{1}\sqrt{1-t^2}\,dt\\&=16\pi\cdot\frac{\pi}{2}=8\pi^2.\end{aligned}$$ ここで、$t\sqrt{1-t^2}$は奇関数なのでその積分は$0$であり、$\displaystyle \int_{-1}^{1}\sqrt{1-t^2}\,dt=\pi/2$は半径1の半円の面積である。