I順天堂大学 2019年 数学 第I問解答・解説

順天堂大学 2019 問I（独立A）

(1)(a)

$\displaystyle z=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}$ は $z^7=1,\ z\ne1$ を満たすから、 $$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=-1.$$ $w=z+z^2+z^4$ とおくと、$z^8=z$ より $$\begin{aligned} w^2 &=z^2+z^4+z^8+2(z^3+z^5+z^6)\\ &=w+2(-1-w)=-2-w. \end{aligned}$$ したがって $w^2+w+2=0$ である。係数は実数で、$w$ は非実数なので、$w,\bar w$ がこの二次方程式の2解である。解と係数の関係から $$w+\bar w=-1,\qquad w\bar w=2.$$ よって $\displaystyle \operatorname{Re}w=-\frac12$ である。また $$\displaystyle (\operatorname{Im}w)^2=w\bar w-(\operatorname{Re}w)^2 =2-\frac14=\frac74.$$ $\displaystyle \sin\frac{4\pi}{7}=\sin\frac{3\pi}{7}>\sin\frac{\pi}{7}$ であり、$\displaystyle \sin\frac{2\pi}{7}>0$ なので $$\displaystyle \operatorname{Im}w =\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7}>0.$$ したがって $$\displaystyle \cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{8\pi}{7} =-\frac12,\qquad \sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7} =\frac{\sqrt7}{2}.$$

(1)(b)

$$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\sqrt3-1}{2}(1+i),\qquad \alpha-\beta=-\frac{\sqrt3+1}{2}(1-i).$$ 従って $$\displaystyle |\alpha+\beta|=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2} =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2},\qquad |\alpha-\beta|=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2} =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}.$$

$\alpha,\beta$ を結ぶ線分の中点を $M$ とし、$d=\beta-\alpha$ とする。正三角形の第3頂点は $\displaystyle M\pm\frac{\sqrt3}{2}id$ である。ここで $$\displaystyle M=\frac{\sqrt3-1}{4}(1+i),\qquad d=\frac{\sqrt3+1}{2}(1-i)$$ だから、 $$\displaystyle M+\frac{\sqrt3}{2}id=\frac{1+\sqrt3}{2} +i\frac{1+\sqrt3}{2},\qquad M-\frac{\sqrt3}{2}id=-1-i.$$ 実部が正なのは前者なので $$\displaystyle \gamma=\frac{1+\sqrt3}{2}+\frac{1+\sqrt3}{2}i.$$

(2)

1) 必要条件・十分条件

$A_2\subset A_1$ である。したがって $x\in A_2\text{ならば} x\in A_1$ であり、$x\in A_1$ は $x\in A_2$ であるための必要条件である。一方、4桁の $1234$ は桁の和が9となる組を含まないため $1234\in A_1$ だが $1234\notin A_2$。よって十分条件ではない。選択肢は (a)。

2) $A$ の要素数

桁数ごとに、1〜8から重複なく並べるので $$|A|={}_8P_2+{}_8P_3+{}_8P_4 =8\cdot7+8\cdot7\cdot6+8\cdot7\cdot6\cdot5 =56+336+1680=2072.$$

3) $A_1,A_2$ の要素数

和が9となる相補な数字の組は $$(1,8),\ (2,7),\ (3,6),\ (4,5)$$ の4組である。桁の和が9となる2数字を同時に使わないためには、各組から高々1個選べばよい。長さ $k$ の数字集合の選び方は $\displaystyle \binom4k2^k$ 通りで、その並べ方は $k!$ 通りである。よって $$\displaystyle |A_1|=\sum\limits _{k=2}^4\binom4k2^k k! =48+192+384=624,$$ $$\displaystyle |A_2|=\sum\limits _{k=2}^3\binom4k2^k k! =48+192=240.$$

4) 小さい方から600番目

2桁と3桁の数は合わせて $${}_8P_2+{}_8P_3=56+336=392$$ 個なので、求める数は4桁の数の中で208番目である。同じ桁数なら整数の大小順は左からの桁の並び順である。

最初の桁が1の数は ${}_7P_3=210$ 個あるので、208番目も最初の桁は1。2桁目を固定した各ブロックは ${}_6P_2=30$ 個だから、208番目は2桁目が8のブロック内で28番目である。先頭が18のとき、3桁目ごとのブロックは5個ずつある。28番目は3桁目が7のブロック内で3番目となり、残る数字を小さい順に並べると3番目は4である。よって求める数は $1874$。

(3)

$x=0$ なら $\sin8\theta=0$ なので、区間 $0\leq\theta\leq\pi$ では $\theta=m\pi/8$（$m=0,1,\ldots,8$）である。このとき $$\displaystyle y=\sin\frac{3m\pi}{4}.$$ これが1となるのは $m=6$ だけなので、点 $A$ に対応するのは $\theta=3\pi/4$。また $-1<y<0$ となるのは $m=5,7$ であり、点 $B$ に対応する2つの値は $5\pi/8,7\pi/8$、$\beta=-\sqrt2/2$ である。

$x\geq0$ 側の実線境界は、$\theta=7\pi/8$ の点 $B$ から $\theta=3\pi/4$ の点 $A$ へたどる。実際、$6\pi/8\leq\theta\leq7\pi/8$ では $\sin8\theta\geq0$。また $$\displaystyle x\frac{dy}{d\theta}=6\sin8\theta\cos6\theta =3\bigl(\sin14\theta+\sin2\theta\bigr).$$ 従って右側部分の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{\beta}^{1}x\,dy &=\int_{7\pi/8}^{3\pi/4}3\bigl(\sin14\theta+\sin2\theta\bigr)\,d\theta\\ &=\left[-\frac{3}{14}\cos14\theta-\frac32\cos2\theta\right]_{7\pi/8}^{3\pi/4} =\frac{6\sqrt2}{7}. \end{aligned}$$ 変換 $\theta\mapsto\pi/2-\theta$（必要なら周期 $\pi$ だけ移す）で $x$ は符号が反転し、$y$ は変わらない。よって図形は $y$ 軸対称で、全体の面積は右側部分の2倍、$12\sqrt2/7$。

最終解答（各小問の空欄）

- (1)(a): $w+\bar w=-1,\ w\bar w=2$、cos和 $-1/2$、sin和 $\sqrt7/2$。 - (1)(b): $|\alpha+\beta|=(\sqrt6-\sqrt2)/2,\ |\alpha-\beta|=(\sqrt6+\sqrt2)/2$、$\gamma=(1+\sqrt3)/2+(1+\sqrt3)i/2$。 - (2): 1) (a)、2) $2072$、3) $|A_1|=624,\ |A_2|=240$、4) $1874$。 - (3): $\theta_A=3\pi/4$、$\theta_B=5\pi/8,7\pi/8$、$\beta=-\sqrt2/2$、積分係数 $3$、正弦の角係数 $14,2$、$b=7\pi/8$、右側面積 $6\sqrt2/7$、全体の面積 $12\sqrt2/7$。

方法

複素数のべきと解と係数の関係、複素平面上の距離と正三角形、順列・組合せ、整数の桁数別の個数と辞書順による順位付け、媒介変数表示による面積積分を用いた。

issues

なし。