II順天堂大学 2019年 数学 第II問解答・解説

順天堂大学 2019 問II（独立A）

(1)

$$\displaystyle x_2=\frac34\cdot3+3=\frac{21}{4},\qquad x_3=\frac34\cdot\frac{21}{4}+3=\frac{63}{16}+\frac{48}{16}=\frac{111}{16}.$$ 定数 $12$ は $\displaystyle \frac34\cdot12+3=12$ を満たす。また $$\displaystyle x_{n+1}-12=\frac34(x_n-12)$$ なので、繰り返し用いると $$\displaystyle x_n-12=\left(\frac34\right)^{n-1}(x_1-12) =-9\left(\frac34\right)^{n-1}\longrightarrow0.$$ 従って $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}x_n=12$。

(2)

床関数の定義に従って順に計算すると $$\displaystyle x_2=\frac34[3]+3=\frac{21}{4},\qquad x_3=\frac34[21/4]+3=\frac{27}{4},$$ $$\displaystyle x_4=\frac34[27/4]+3=\frac{15}{2},\qquad x_5=\frac34[15/2]+3=\frac{33}{4},$$ $$\displaystyle x_6=\frac34[33/4]+3=9,\qquad x_7=\frac34[9]+3=\frac{39}{4}.$$ さらに $[39/4]=9$ なので $$\displaystyle x_8=\frac34[39/4]+3=\frac{39}{4}=x_7.$$ 以後同じ値が続くため、極限は $\displaystyle \frac{39}{4}$。

(3)

$x_n>0$ に対して $y_n=1/x_n$ とおくと $$\displaystyle y_{n+1}=\frac{1+x_n}{3x_n}=\frac{y_n+1}{3},\qquad y_1=2.$$ この一次漸化式の定数値 $1/2$ を引けば $$\displaystyle y_{n+1}-\frac12=\frac13\left(y_n-\frac12\right).$$ 従って $$\displaystyle y_n=\frac12+\frac32\left(\frac13\right)^{n-1} =\frac{1+3^{\,2-n}}{2}, \qquad x_n=\frac{2\cdot3^{n-2}}{3^{n-2}+1}.$$ よって $$\displaystyle x_5=\frac{54}{28}=\frac{27}{14},\qquad x_9=\frac{2\cdot3^7}{3^7+1} =\frac{4374}{2188}=\frac{2187}{1094}.$$ また $y_n\to1/2$ だから $x_n\to2$。

(4)

すべての初項について $0\le x_n\le1$ を保つ条件

$0\leq x\leq1$ では $$\displaystyle 0\leq x(1-x)\leq\frac14.$$ 従って $0\leq a\leq4$ なら $$\displaystyle 0\leq f(x)=a x(1-x)\leq\frac a4\leq1,$$ すなわち $0\le x\le1$ ならば $0\le f(x)\le1$ となる。これを各段階に適用すれば、$0\le x_1\le1$ を満たすすべての初項 について全ての $n\geq2$ で $0\le x_n\le1$ となる。

逆に、その条件が$0\le x_1\le1$ を満たすすべての $x_1$ で成り立つなら、特に $x_1=1/2$ のとき $0\le x_2=a/4\le1$。よって $0\leq a\leq4$ が必要でもある。したがって必要十分条件は $$0\leq a\leq4.$$

$x_1=x_2$ となる非零の初項

方程式 $x_1=a x_1(1-x_1)$ は $$x_1=0\quad\text{または}\quad a(1-x_1)=1$$ と同値である。非零解は $a\ne0$ のとき $\displaystyle x_1=1-\frac1a$。これが $0<x_1\leq1$ となるのは $a>1$ である。先の範囲 $a\leq4$ と合わせて $$\displaystyle 1<a\leq4,\qquad x_1=1-\frac1a.$$

$x_1<x_2,\ x_3=x_1$ となる初項

$a=0$ ではそのような初項はない。$a>0$ として $x_2=f(x_1)$ と置き、$x_3=x_1$ を解く。直接代入して因数分解すると $$\displaystyle \begin{aligned} f(f(x))-x &=x\{a^2(1-x)(1-a x+a x^2)-1\}\\ &=-a^3x\left(x-\frac{a-1}{a}\right) \left(x^2-\frac{a+1}{a}x+\frac{a+1}{a^2}\right). \end{aligned}$$ $x_1<x_2$ なら $x_1$ は固定点ではない。よって上の二次式が0であり、その判別式は $$\displaystyle \left(\frac{a+1}{a}\right)^2-\frac{4(a+1)}{a^2} =\frac{(a+1)(a-3)}{a^2}.$$ 2つの異なる実数解があるには $a>3$ が必要である。解は $$\displaystyle x_-=\frac{a+1-\sqrt{(a+1)(a-3)}}{2a},\qquad x_+=\frac{a+1+\sqrt{(a+1)(a-3)}}{2a}.$$ $3<a\leq4$ では $0<x_-<x_+<1$ である。実際、$a>3$ なら $$\sqrt{(a+1)(a-3)}<a+1,\qquad (a-1)^2-(a+1)(a-3)=4>0$$ なので $x_->0$ かつ $x_+<1$。二次式の根であることから $$a^2x_-^2-a(a+1)x_-+(a+1)=0.$$ これを変形すると $$\displaystyle f(x_-)+x_-=(a+1)x_--a x_-^2=\frac{a+1}{a}=x_-+x_+,$$ したがって $f(x_-)=x_+$。この初項は $x_1<x_2$ を満たし、因数分解した式より $x_3=x_1$ でもある。よって条件は $3<a\leq4$、求める初項は $$\displaystyle x_1=x_-=\frac{a+1-\sqrt{(a+1)(a-3)}}{2a}.$$ $a=3$ では2解が一致し $x_1=x_2$ となるため、不等号は厳密である。

最終解答（空欄）

$$\displaystyle x_2^{(1)}=\frac{21}{4},\quad x_3^{(1)}=\frac{111}{16},\quad \lim x_n^{(1)}=12; \qquad x_2^{(2)}=\frac{21}{4},\quad x_3^{(2)}=\frac{27}{4},\quad \lim x_n^{(2)}=\frac{39}{4};$$ $$\displaystyle x_5=\frac{27}{14},\quad x_9=\frac{2187}{1094},\quad \lim x_n=2; \qquad 0\leq a\leq4,\quad 1<a\leq4,\quad x_1=1-\frac1a,\quad 3<a\leq4,\quad x_1=\frac{a+1-\sqrt{(a+1)(a-3)}}{2a}.$$ (4) の空欄は $\text{ホ}=0,\ \text{マ}=4,\ \text{ミ}=1,\ \text{ム}=1,\ \text{メ}=1,\ \text{モ}=3,\ \text{ヤ}=1,\ \text{ユ}=1,\ \text{ヨ}=3$。

方法

一次漸化式の差を用いた収束証明、床関数の直接計算、逆数変換で一次漸化式にする方法、二次関数の最大値と二回合成した式の因数分解を用いた。

issues

なし。