4大阪大学 2004年 数学 第4問解答・解説

解説 (1) 全項が $a$ ならまず $x_2=a$ なので、固定点方程式 $a=ra(1-a)$ を解く。$a=0$ は常に成立し、$a\ne0$ の場合は $r\ne0$ かつ $a=1-1/r$。各候補は漸化式をそのまま保つ固定点である。$r=1$ では後者も0になり、重複する。

(2) $x_3-a$ を因数分解すると、固定点条件の因子と二次式 $P(a)$ が得られる。条件 $x_2\ne a$ があるので前者の根は数えず、$P$ の実根だけを調べる。$r=0$ は二次式の係数が退化するため別扱いにする。$r\ne0$ では判別式が正となるのは $r<-1$ または $r>3$ のときで、その2根が固定点でないことも代入で確認できる。$r=-1,3$ の重根は固定点そのものなので除外される。

(3) 平方完成により $a(1-a)$ の最大値は $1/4$。$a=1/2$ を選ぶと $x_2=r/4$ となり、必要条件 $0\le r\le4$ が出る。この範囲では$0\le t\le1$ なら $0\le rt(1-t)\le1$ が成り立つため、$x_2$ から帰納法で全項を確認できる。

答え (1) $a=0$、または $r\ne0$ のとき $a=1-1/r$（$r=1$ では重複）。(2) $r<-1$ または $r>3$ で2個、それ以外で0個。(3) $0\le r\le4$。