1大阪大学 2004年 数学 第1問解答・解説

nを自然数とする。　 (1) 各$z_k$の偏角が$0\le\arg z_k\le\pi/2$を満たすので、$z_k=x_k+iy_k$とおけば$x_k\geq0,\ y_k\geq0$である。したがって$$\displaystyle \begin{aligned}\left|\sum\limits _{k=1}^{n}z_k\right|^2&=\left(\sum\limits _{k=1}^{n}x_k\right)^2+\left(\sum\limits _{k=1}^{n}y_k\right)^2\\&=\sum\limits _{k=1}^{n}(x_k^2+y_k^2)+2\sum\limits _{1\leq j<k\leq n}(x_jx_k+y_jy_k)\\&\geq\sum\limits _{k=1}^{n}(x_k^2+y_k^2)=\sum\limits _{k=1}^{n}|z_k|^2.\end{aligned}$$よって示された。　 (2)$z_k=\cos\theta_k+i\sin\theta_k$とおく。このとき$0\leq\arg z_k=\theta_k\leq\pi/2$、また$|z_k|^2=\cos^2\theta_k+\sin^2\theta_k=1$である。(1)を$z_1,\ldots,z_n$に適用し、$\displaystyle S=\sum\limits _{k=1}^{n}\sin\theta_k$とおくと、条件$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\cos\theta_k=1$より$$\displaystyle \begin{aligned}n=\sum\limits _{k=1}^{n}|z_k|^2&\leq\left|\sum\limits _{k=1}^{n}z_k\right|^2\\&=\left(\sum\limits _{k=1}^{n}\cos\theta_k\right)^2+\left(\sum\limits _{k=1}^{n}\sin\theta_k\right)^2=1+S^2.\end{aligned}$$よって$S^2\geq n-1$。さらに$S\geq0$だから$S\geq\sqrt{n-1}$となり、求める不等式が示された。