1名古屋市立大学 2020年 数学 第1問解答・解説

A_Q1 — MM-3cd740bc74a4-Q1

数列の漸化式を複素数の積にまとめ、各段階での拡大率と偏角を調べる。

$(1)$〜$(3)$ を通じて $$\displaystyle c_n=\sqrt{2-\frac{2}{9^n}},\qquad d_n=\frac{\sqrt2}{3^n}$$ とおく。漸化式から $$z_{n+1}=(c_na_n-d_nb_n)+(d_na_n+c_nb_n)i=(c_n+d_ni)z_n$$ を得る。また $$\displaystyle c_n^2+d_n^2=2-\frac{2}{9^n}+\frac{2}{9^n}=2.$$ したがって係数 $c_n+d_ni$ は零でなく、$z_1=1$ から帰納的にすべての $z_n$ は零でない。

(1)

上の複素数の積の式より $$\displaystyle \left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|=|c_n+d_ni|=\sqrt{c_n^2+d_n^2}=\boxed{\sqrt2}.$$

(2)

$n\ge1$ では $c_n>0,\ d_n>0$ なので、$c_n+d_ni$ の偏角は第1象限にある。さらに $$\displaystyle c_n+d_ni=\sqrt2\left(\sqrt{1-\frac1{9^n}}+\frac{i}{3^n}\right).$$ これを極形式と比較すると $$\displaystyle \cos\theta_n=\sqrt{1-\frac1{9^n}},\qquad \sin\theta_n=\boxed{\frac1{3^n}}.$$ （偏角の代表を第1象限に取った。別の代表を取っても正弦の値は同じである。）

(3)

(1) と $z_1=1$ から $$|z_n|=(\sqrt2)^{n-1},\qquad |z_{n+1}|=(\sqrt2)^n.$$ 原点からの二つの辺の長さがそれぞれ $|z_n|,|z_{n+1}|$、その間の角が $\theta_n$ であるから、三角形の面積は $$\displaystyle T_n=\frac12|z_n||z_{n+1}|\sin\theta_n =\frac12(\sqrt2)^{n-1}(\sqrt2)^n\frac1{3^n} =\frac{\sqrt2}{4}\left(\frac23\right)^n.$$ よって公比 $2/3$ の無限等比級数の和を用いて $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}T_n =\frac{\sqrt2}{4}\cdot\frac{\frac23}{1-\frac23} =\boxed{\frac{\sqrt2}{2}}.$$

確認として $n=1$ では $c_1=4/3,\ d_1=\sqrt2/3$ だから、三角形 $0,z_1,z_2$ の面積は $d_1/2=\sqrt2/6$。上式の $T_1=(\sqrt2/4)(2/3)=\sqrt2/6$ と一致する。

使用解法

- 複素数の積として漸化式を表し、絶対値・偏角を比較する（数学II「複素数」、数学C「複素数平面」）。 - 二辺とその間の角による三角形の面積公式（数学I「三角比による面積」）。 - 無限等比級数の和（数学III「無限等比級数」）。