2滋賀医科大学 2018年 数学 第2問解答・解説

まず，$\displaystyle a_1=\dfrac{4+3i}{5}$ なので $|a_1|=1$ かつ $a_1\ne1$ である。$|a_n|=1$ のとき $$|a_n-5|^2=26-10\operatorname{Re}(a_n)=|1-5a_n|^2$$ であるから，$1-5a_n\ne0$ であり，$|a_{n+1}|=1$ となる。また，$a_{n+1}=1$ ならば $a_n-5=1-5a_n$ より $a_n=1$ となる。したがって帰納的に，すべての $n$ について $a_n$ は定まり，$|a_n|=1$，$a_n\ne1$ である。よって $b_n$ も定義される。

(1) $z=a_n$ とおくと， $$\displaystyle \frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}=\frac{\dfrac{z-5}{1-5z}+1}{\dfrac{z-5}{1-5z}-1}=-\frac{2}{3}\frac{z+1}{z-1}.$$ 両辺に $i$ を掛けて，$\displaystyle b_{n+1}=-\dfrac{2}{3}b_n$ を得る。

(2) $\displaystyle a_1+1=\dfrac{9+3i}{5}$，$\displaystyle a_1-1=\dfrac{-1+3i}{5}$ なので， $$\displaystyle b_1=i\frac{a_1+1}{a_1-1}=i(-3i)=3.$$ (1)より $\displaystyle b_n=3\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}$ である。これは実数だから，すべての $n$ について $b_n$ は実数である。

(3) 定義式から $\displaystyle a_n=\dfrac{b_n+i}{b_n-i}$ であり，したがって $$\displaystyle |a_n+1|=\left|\frac{2b_n}{b_n-i}\right|=\frac{2|b_n|}{\sqrt{b_n^2+1}}.$$ $\displaystyle b_n=3\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}$ より $b_n\to0$ であるから，$\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}|a_n+1|=0$。

(4) $b_n$ は実数であるから， $$\displaystyle a_n=\frac{b_n+i}{b_n-i}=\frac{(b_n+i)^2}{b_n^2+1}=\frac{b_n^2-1}{b_n^2+1}+i\frac{2b_n}{b_n^2+1}.$$ よって $a_n=x_n+iy_n$ とおけば， $$\displaystyle x_n^2+y_n^2=\frac{(b_n^2-1)^2+4b_n^2}{(b_n^2+1)^2}=1.$$ したがってすべての点 $a_n$ は，原点を中心とする半径1の円周上にある。