2群馬大学 2019年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }f(\alpha)=\alpha\text{ より}\quad \alpha(\alpha+1+i)=\alpha-1\text{すなわち} \alpha^2+i\alpha+1=0.\\ \alpha=\frac{-i\pm\sqrt{-5}}2=\frac{-i\pm i\sqrt5}{2}.\quad \operatorname{Im}\alpha>0\text{ より }\alpha=\frac{\sqrt5-1}{2}i.\\ \text{(2) }y>0\text{ として }f(iy)=\frac{iy-1}{1+i(y+1)}\text{ を計算すると、}\\ f(f(iy))=\frac{-2-i}{(y+1)(-1+2i)}=\frac{i}{y+1}.\\ z_1=i=iy_1\ (y_1=1)\text{ とおくと、帰納的に }z_{2k-1}=iy_k,\quad y_{k+1}=\frac1{1+y_k}>0.\\ \text{したがって全ての奇数 }n=2k-1\text{ で }z_n\text{ は虚部正の純虚数である。}\\ \text{(3) }y_{k+2}=\frac{1+y_k}{2+y_k}.\quad \rho=\frac{\sqrt5-1}{2}\text{ は }\rho^2+\rho-1=0\text{ を満たし、}\frac{1+\rho}{2+\rho}=\rho.\\ T(y)=\frac{1+y}{2+y}\text{ とおくと }T\text{ は増加関数で、}\quad T(y)-y=\frac{1-y-y^2}{2+y}.\\ y_1=1>\rho\text{ から奇数番目の }y_k\text{ は }\rho\text{ 以上で単調減少し、}\quad y_2=\frac12<\rho\text{ から偶数番目は }\rho\text{ 以下で単調増加する。}\\ \text{ゆえに両部分列はともに }\rho\text{ に収束し、}\ y_k\to\rho.\quad z_{2k-1}=iy_k\to i\rho.\\ \text{また }z_{2k}=f(z_{2k-1})\to f(i\rho)=i\rho\text{（(1)の固定点）なので、}\quad \lim\limits _{n\to\infty}|z_n|=|i\rho|=\rho=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$