1北海道大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) 条件 (B) の写像は $w=(z+1+i)/2$ である。$C_n$ が中心 $\alpha_n$、半径 $r_n$ の円ならば $$\displaystyle w-\frac{\alpha_n+1+i}{2}=\frac{z-\alpha_n}{2}.$$ 従って $z$ が $C_n$ 上を動くとき、$w$ は中心 $\displaystyle \dfrac{\alpha_n+1+i}{2}$、半径 $\displaystyle \dfrac{r_n}{2}$ の円上を動く。$C_1$ は中心 $\alpha_1=0$、半径 $r_1=2$ の円なので、帰納的に全ての $C_n$ は円であり $$\displaystyle \alpha_{n+1}=\frac{\alpha_n+1+i}{2},\qquad r_{n+1}=\frac{r_n}{2}.$$ 中心の式を $\alpha_n-(1+i)$ について解くと $$\displaystyle \alpha_{n+1}-(1+i)=\frac{\alpha_n-(1+i)}{2}.$$ 初期値 $\alpha_1=0$ を用いて $$\displaystyle \alpha_n=(1+i)\left(1-\frac1{2^{n-1}}\right),\qquad r_n=\frac{2}{2^{n-1}}=2^{2-n}.$$

(2) 半径 $r_n$、中心 $\alpha_n$ の円上の点と原点との距離の最小値は $$d_n=\bigl||\alpha_n|-r_n\bigr|.$$ 実際、三角不等式からこの値以上であり、$\alpha_n\ne0$ のとき $\alpha_n$ と同一直線上で中心の反対側にある円周上の点で等号となる。$\alpha_n=0$ のときは円周上のどの点も原点から距離 $r_n$ である。

$1-2^{-(n-1)}\ge0$ なので $$\displaystyle |\alpha_n|=\sqrt2\left(1-\frac1{2^{n-1}}\right),\qquad |\alpha_n|-r_n=\sqrt2-\frac{\sqrt2+2}{2^{n-1}}.$$ $n=1$ のときこの差は $-2$、$n=2$ のとき $\displaystyle \dfrac{\sqrt2-2}{2}<0$ である。$n\ge3$ ならば $$\displaystyle |\alpha_n|-r_n\ge\sqrt2-\frac{\sqrt2+2}{4}=\frac{3\sqrt2-2}{4}>0.$$ したがって $$\displaystyle d_n= \begin{cases} 2 & (n=1),\\[2pt] 1-\dfrac{\sqrt2}{2} & (n=2),\\[4pt] \sqrt2-\dfrac{\sqrt2+2}{2^{n-1}} & (n\ge3). \end{cases}$$ ゆえに $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}d_n=\sqrt2.$$