I順天堂大学 2021年 数学 第I問解答・解説

(1)(a) $\displaystyle z_1=\frac32+2i$ なので $$\displaystyle |z_1|=\sqrt{\left(\frac32\right)^2+2^2}=\frac52,\qquad \sin\alpha=\frac{\operatorname{Im}z_1}{|z_1|}=\frac{2}{5/2}=\frac45.$$ 従って $\text{ア}=5,\text{イ}=2,\text{ウ}=4,\text{エ}=5$。

(1)(b) $\cos\alpha=3/5,\sin\alpha=4/5$ だから、$-\alpha$ 回転は $3/5-(4/5)i$ を掛けることに対応する。 $$\displaystyle z_3=\left(\frac35+\frac95i\right)\left(\frac35-\frac45i\right) =\frac{45}{25}+\frac{15}{25}i=\frac95+\frac35i.$$ 従って $\text{オ}=9,\text{カ}=5,\text{キ}=3,\text{ク}=5$。

(1)(c) $\pi/2$ 回転は $i$ を掛けることなので $$\displaystyle z_4=i\left(\frac35+\frac95i\right)=-\frac95+\frac35i.$$ 従って $\text{ケコ}=-9,\text{サ}=5,\text{シ}=3,\text{ス}=5$。

(1)(d) $z=X+Yi$ とおくと、距離比は $$|z-z_3|:|z-z_4|=1:2.$$ これを二乗して整理すると $$\displaystyle 4\left\{\left(X-\frac95\right)^2+\left(Y-\frac35\right)^2\right\} =\left(X+\frac95\right)^2+\left(Y-\frac35\right)^2,$$ $$\displaystyle \left(X-3\right)^2+\left(Y-\frac35\right)^2=\frac{144}{25}.$$ 従って中心は $\displaystyle 3+\frac35i$、半径は $\displaystyle \frac{12}{5}$。従って $\text{セ}=3,\text{ソ}=3,\text{タ}=5,\text{チツ}=12,\text{テ}=5$。

(2)(a) 原始関数で積分すると $$\displaystyle \int_0^a(x^3-a^2x)\,dx =\left[\frac{x^4}{4}-\frac{a^2x^2}{2}\right]_0^a =-\frac{a^4}{4}.$$ また $\displaystyle \int_0^1(x^3-x)\,dx=-1/4$ なので、$a>0$ について $p=-1/4,\ q=4$。 さらに $$\displaystyle \left|\int_0^a x(x^2-a^2)\,dx\right|=\frac{a^4}{4}=4$$ と $a\ge0$ から $a=2$。従って $\text{アイ}=-1,\text{ウ}=4,\text{エ}=4,\text{オ}=2$。

(2)(b) $f'(x)=3x^2-12x+10,\ f''(x)=6x-12$ は2の左右で符号が変わるので、変曲点は $(2,f(2))=(2,5)$。$u=x-2$ とすると $$f(2+u)=5+u^3-2u.$$ 変曲点を通る直線を $y=5+mu$ と置くと、交点は $$u^3-(m+2)u=0.$$ 3交点をもつので $m+2=r^2>0$ とおけば $u=-r,0,r$。曲線と直線の差は $u(u^2-r^2)$ で、二つの囲まれた部分の面積の合計は $$\displaystyle 2\int_0^r (r^2u-u^3)\,du =2\left[\frac{r^2u^2}{2}-\frac{u^4}{4}\right]_0^r =\frac{r^4}{2}.$$ これが8なので $r=2$、従って最大の交点の $x$ 座標は $2+r=4$、傾きは $m=r^2-2=2$。求める直線は $y=2(x-2)+5=2x+1$。 従って $\text{カ}=2,\text{キ}=5,\text{ク}=4,\text{ケ}=2,\text{コ}=1$。

(3)(a) データの平均は0であり、分散は $$\displaystyle \frac{2\sum\limits _{k=1}^n k^2}{2n+1} =\frac{n(n+1)}{3}.$$ これを $56/3$ と等置すると $n(n+1)=56$、従って正の整数 $n=7$。従って $\text{ア}=7$。 平方和公式は $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ を $k=1,\ldots,n$ で足して $\displaystyle (n+1)^3-1=3\sum k^2+3\sum k+n$ とし、$\displaystyle \sum k=n(n+1)/2$ を代入して $\displaystyle \sum k^2=n(n+1)(2n+1)/6$ と導く。

(3)(b) $b_j=a_j-1\ (j=1,2,3)$ とおくと $$b_1<b_2<b_3,\quad b_1+b_2+b_3=0,\quad b_1^2+b_2^2+b_3^2=26.$$ $b_1=-r,\ b_3=s$ とすると $b_2=r-s$ で、 $$r^2+s^2-rs=13,\qquad (2r-s)^2+3s^2=52.$$ $s$ は正整数で $s\le4$。式 $(2r-s)^2=52-3s^2$ を $s=1,2,3,4$ に代入すると右辺はそれぞれ $49,40,25,4$。順に平方条件と $-r<r-s<s$ を課すと $(r,s)=(4,3)$ または $(3,4)$ だけが残る。よって三つ組 $b_j$ は $(-4,1,3)$ または $(-3,-1,4)$、対応する $a_j$ は $(-3,2,4)$ または $(-2,0,5)$。従って $a_3=4,5$ であり、$\text{イ}=4,\text{ウ}=5$。

(3)(c) $a_3=\text{ウ}=5$ を含む組は $(-2,0,5)$。全データ $-7,\ldots,7$ の和は0、平方和は $$\displaystyle 2\sum\limits _{k=1}^7k^2=280.$$ この組を除くと個数12、和 $-3$、平方和 $280-(4+0+25)=251$。従って平均は $-3/12=-1/4$、分散は $$\displaystyle \frac{251}{12}-\left(-\frac14\right)^2 =\frac{1001}{48}.$$ 従って $\text{エオ}=-1,\text{カ}=4,\text{キクケコ}=1001,\text{サシ}=48$。

(4)(a) $$2x^2+y^2+3x-2y+1=(2x^2+3x)+(y^2-2y)+1.$$ $-2\leq x\leq2$ で $2x^2+3x$ の最大値は14、最小値は頂点 $x=-3/4$ で $-9/8$。$-2\leq y\leq2$ で $y^2-2y$ の最大値は8、最小値は頂点 $y=1$ で $-1$。したがって全体の最大値は $14+8+1=23$、最小値は $-9/8-1+1=-9/8$。従って $\text{アイ}=23,\text{ウエ}=-9,\text{オ}=8$。

(4)(b) $$g(x,y)=x^2-4xy+4y^2+2x+y+1=(x-2y)^2+2x+y+1.$$ 各変数について固定した他方の変数の二次関数は上に凸なので、最大値は四隅で調べればよい。値は $$g(-2,-2)=-1,\quad g(-2,2)=35,\quad g(2,-2)=39,\quad g(2,2)=11,$$ よって最大値は39。 内部点では十分小さい $t>0$ をとって $(x-2t,y-t)$ も領域内にできる。この移動では $x-2y$ は変わらず、$2x+y$ は $5t$ 減るので $g$ が小さくなる。したがって最小値は境界上で生じる。各辺では端点または二次関数の頂点を調べる。 $$\begin{array}{ll} y=-2:&g=x^2+10x+15,\ -2\leq x\leq2\text{で増加するので最小値 }-1,\\ y=2:&g=x^2-6x+19,\ -2\leq x\leq2\text{で減少するので最小値 }11,\\ x=-2:&g=4y^2+9y+1,\ y=-9/8\text{で最小値 }-65/16,\\ x=2:&g=4y^2-7y+9,\ y=7/8\text{で最小値 }95/16. \end{array}$$ よって全体の最小値は $-65/16$。従って $\text{カキ}=39,\text{クケコ}=-65,\text{サシ}=16$。