II順天堂大学 2021年 数学 第II問解答・解説

(a) 正五角形の内角は $108^\circ$ であるから、$\triangle ABC$ は $AB=BC=1$、$\angle ABC=108^\circ$ の二等辺三角形であり、$\angle BAC=\angle BCA=36^\circ$ である。対角線 $AC$ の長さを $d$ とする。対角線 $AC$ と $BE$ の交点を $X$ とすると、円周角の定理から $\angle CBE=72^\circ$、また $\angle BCX=36^\circ$ なので、$\triangle BCX$ の角は $72^\circ,36^\circ,72^\circ$ である。従って $XC=BC=1$ である。また $\angle BAX=\angle ABX=36^\circ$ なので $AX=BX$ である。

正弦定理を $\triangle ABC$ に用いると $$\displaystyle d=\frac{\sin108^\circ}{\sin36^\circ}=\frac{\sin72^\circ}{\sin36^\circ}=2\cos36^\circ.$$ さらに $\triangle BCX$ の正弦定理から $$\displaystyle BX=\frac{\sin36^\circ}{\sin72^\circ}=\frac1d.$$ 対角線上で $d=AX+XC=BX+1$ だから、$d=1+1/d$、すなわち $d^2-d-1=0$ である。$d>0$ より $$\displaystyle AC=d=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad \cos36^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4}.$$ 倍角の公式から $\cos72^\circ=2\cos^2 36^\circ-1=(\sqrt5-1)/4$ なので、半角の関係より $$\displaystyle \sin^2\angle BAC=\sin^2 36^\circ=\frac{1-\cos72^\circ}{2}=\frac{5-\sqrt5}{8}.$$ 辺 $AB=1$ は外接円上で中心角 $72^\circ$ に対する弦である。中心から弦に下ろした垂線で二等分した直角三角形より $\sin36^\circ=1/(2r)$ だから $$\displaystyle r^2=\frac{1}{4\sin^2 36^\circ}=\frac{5+\sqrt5}{10}.$$ 正五角形の面積 $S$ は中心のまわりの5つの合同な三角形の面積の和であり、 $$\displaystyle S=\frac52 r^2\sin72^\circ=\frac54\frac{\cos36^\circ}{\sin36^\circ}.$$ ここで $$\displaystyle \frac{\cos^2 36^\circ}{\sin^2 36^\circ} =\frac{3+\sqrt5}{5-\sqrt5}=1+\frac{2\sqrt5}{5}$$ より $$\displaystyle S^2=\frac{25}{16}\left(1+\frac{2\sqrt5}{5}\right)=\frac{25+10\sqrt5}{16}.$$

(b) 頂点 $F$ から底面への垂線の足を $H$ とする。各底面頂点 $V$ について $FV^2=FH^2+HV^2=1$ だから、$HV$ は全頂点で等しい。従って $H=O$ である。従って $\triangle FOA$ は $O$ で直角、$FA=1$、$OA=r$、$FO=h$ の直角三角形である。三平方の定理から $$\displaystyle h^2=1-r^2=1-\frac{5+\sqrt5}{10}=\frac{5-\sqrt5}{10}.$$ 角 $\theta=\angle AFO$ に対し、$\sin\theta=OA/FA=r$、$\cos\theta=FO/FA=h$ である。いずれも正なので $$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2rh,$$ そして $$\displaystyle (rh)^2=r^2h^2=\frac{(5+\sqrt5)(5-\sqrt5)}{100}=\frac15$$ より $rh=1/\sqrt5$、従って $\sin2\theta=2\sqrt5/5$ である。

(c) 正二十面体の外接球の中心を $G$ とする。底面の正五角形の5頂点 $A,B,C,D,E$ は同一平面上にあり、$O$ を中心、$r$ を半径とする円上にある。外接球の中心 $G$ から底面への垂線の足を $H$ とする。5頂点$A,B,C,D,E$のいずれを$V$としても $GV^2=GH^2+HV^2=R^2$ だから、$HV$ は5頂点で等しい。従って $H=O$ である。したがって球の中心は直線 $FO$ 上にある。$O$ を高さの原点、$F$ の高さを $h$ とし、球の中心の符号付き高さを $t$ とする。底面頂点までの距離と $F$ までの距離が等しいので $$\displaystyle r^2+t^2=(h-t)^2, \qquad t=\frac{h^2-r^2}{2h}=-\frac{\sqrt5}{10h}.$$ 従って $$\displaystyle t^2=\frac{1}{20h^2}=\frac{1}{2(5-\sqrt5)}=\frac{5+\sqrt5}{40}.$$ 外接球の半径を $R$ とすると、 $$\displaystyle R^2=r^2+t^2=\frac{5+\sqrt5}{10}+\frac{5+\sqrt5}{40} =\frac{5+\sqrt5}{8}.$$