2兵庫医科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

円周上の点の順を図の通り $A,C,E,G,I$ とする。等しい星形の弦 $AE,EI,IC,CG,GA$ に対応する二つの連続した弧の和はどれも等しい。五つの弧の長さを順に比べると、隣接する弧の長さはすべて等しくなる。したがって外側の五角形 $ACEGI$ は正五角形で、中心角は $72^\circ$ である。円周角の定理から、各先端の角は $36^\circ$ である。

(1) 五回回転対称性により $AB=AJ=CB=CD$ である。また $\angle BAJ=\angle BCD=36^\circ$。対応する二辺とその間の角が等しいから $$\triangle ABJ\cong\triangle CBD.$$

(2) $c=\cos36^\circ$ と置く。$3\cdot36^\circ=180^\circ-2\cdot36^\circ$ なので $\cos108^\circ=-\cos72^\circ$。加法定理と二倍角の公式から $$4c^3-3c=-(2c^2-1),\qquad (c+1)(4c^2-2c-1)=0.$$ $0<c<1$ だから $c=(1+\sqrt5)/4$ である。外側正五角形の一辺を $s=AC$ とすると、$AE=AG=1$ かつ $\angle EAG=36^\circ$ より余弦定理で $$\displaystyle s=EG=\sqrt{2-2c}=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$ 三角形 $ACD$ では円周角から $\angle CAD=36^\circ$、$\angle ACD=72^\circ$ である。残りの $\angle ADC$ も $72^\circ$ なので $AD=AC=s$。従って $$\displaystyle AD=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$

(3) 先端三角形の等辺の長さを $l=AB=AJ$、中央正五角形の一辺を $q=BJ$ とする。五回対称性により $AB=DE$ だから、$AE=1$ と $AD=s$ より $$\displaystyle l=DE=1-s=\frac{3-\sqrt5}{2},\qquad q=CI-CB-IJ=1-2l=\sqrt5-2.$$ $\sin36^\circ>0$ と $c=(1+\sqrt5)/4$ から $$\displaystyle \sin36^\circ=\sqrt{1-c^2}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}4.$$ 中央正五角形の面積は、辺長 $q$、中心から辺までの距離 $q/(2\tan36^\circ)$ より $S_0=5q^2\cot36^\circ/4$ である。五つの先端三角形の面積の和は $5l^2\sin36^\circ/2$。従って五芒星の面積は $$\displaystyle S_*=\frac{5q^2}{4}\cot36^\circ+\frac{5l^2}{2}\sin36^\circ =\frac{5-2\sqrt5}{4}\sqrt{10-2\sqrt5}.$$

(4) 折り上げると、底面は一辺 $q$ の正五角形で、五つの側辺はいずれも $l$ である。底面の外接円半径は $R=q/(2\sin36^\circ)$ で、頂点は底面の中心の真上にある。高さ $H$ は三平方の定理から $$\displaystyle H^2=l^2-R^2 =\left(\frac{3-\sqrt5}{2}\right)^2 -\frac{(\sqrt5-2)^2}{4\sin^2 36^\circ} =1-\frac{2\sqrt5}{5}>0.$$ 上の $S_0$ を整理すると $$\displaystyle S_0=\frac{7\sqrt5-15}{16}\sqrt{10-2\sqrt5}.$$ また $\sqrt{10-2\sqrt5}\sqrt{1-2\sqrt5/5}=3-\sqrt5$ なので、五角錐の体積は $$\displaystyle V=\frac13S_0H =\frac{(7\sqrt5-15)(3-\sqrt5)}{48} =\frac{9\sqrt5-20}{12}.$$