3山口大学 2014年 数学 第3問解答・解説

(1) $AH\perp$ 平面 $BCD$ だから、直角三角形 $ABH,ACH,ADH$ に三平方の定理を用いると $$AB^2=AH^2+BH^2,\quad AC^2=AH^2+CH^2,\quad AD^2=AH^2+DH^2.$$ よって $AB=AC=AD=1$ より $BH=CH=DH$ であり、$H$ は $\triangle BCD$ の外心である。外接円の半径を $r$ とおく。正弦定理より $$\displaystyle 2r=\frac{BC}{\sin\angle BDC}=\frac{\sqrt3}{\sin\theta},\qquad r=\frac{\sqrt3}{2\sin\theta}.$$ したがって $$\displaystyle BH=CH=DH=\frac{\sqrt3}{2\sin\theta},\qquad AH=\sqrt{1-r^2}=\sqrt{1-\frac{3}{4\sin^2\theta}}=\frac{\sqrt{4\sin^2\theta-3}}{2\sin\theta}.$$ なお $\pi/3<\theta<\pi/2$ より $\sin\theta>\sqrt3/2$ なので、各長さは正である。

(2) $t=\cos\theta$ とすると $0<t<1/2$ であり、 $$\displaystyle r=\frac{\sqrt3}{2\sqrt{1-t^2}},\qquad AH=\sqrt{1-r^2}=\frac{\sqrt{1-4t^2}}{2\sqrt{1-t^2}}.$$ 弦 $BC$ の中点を $M$ とする。$HM\perp BC$ であり、 $$\displaystyle HM=\sqrt{r^2-\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=r\cos\theta.$$ 円周角 $\angle BDC=\theta$ が対する、$D$ を含まない弧 $BC$ の中心角は $2\theta<\pi$ である。したがって $D$ はその弧の反対側の大弧上を動く。底面内で $BC$ を水平に見れば、許される大弧上で $D$ から $BC$ までの距離は、円の最遠点で最大となり、その値は $r+HM=r(1+\cos\theta)$ である。このとき $BD=CD$ となる。よって底面積の最大値は $$\displaystyle [\triangle BCD]_{\max}=\frac12\,BC\,r(1+\cos\theta)=\frac{\sqrt3}{2}r(1+t).$$ 四面体の体積は $\displaystyle \frac13AH[\triangle BCD]$ なので、 $$\displaystyle V(t)=\frac13\cdot\frac{\sqrt{1-4t^2}}{2\sqrt{1-t^2}}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2\sqrt{1-t^2}}(1+t)=\frac{\sqrt{1-4t^2}}{8(1-t)}.$$

(3) $0<t<1/2$ では $V(t)>0$ だから、平方を比較する。 $$\displaystyle V(t)^2=\frac{1-4t^2}{64(1-t)^2}\leq\frac1{48}$$ は、分母が正であることから、 $$3(1-4t^2)\leq4(1-t)^2 \quad\text{すなわち}\quad (1-4t)^2\geq0$$ と同値である。等号は $t=1/4$ で成立し、この値は許される範囲内にある。したがって $V(t)$ の最大値は $\displaystyle \sqrt{1/48}=\frac{\sqrt3}{12}$ である。