3広島大学 2014年 数学 第3問解答・解説

$O$を始点とする位置ベクトルを $$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\qquad \overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b},\qquad \overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$$ とおく。条件から $$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=1,\qquad |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}|=1$$ である。したがって $$1=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2 =|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} =2-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$$ より $\displaystyle \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\frac12$。同様に $\displaystyle \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=\frac12$ である。

(1) 三角形 $OAB$ の重心 $F$ の位置ベクトルは、頂点 $O,A,B$ の位置ベクトルの平均だから $$\displaystyle \overrightarrow{OF}=\frac{\boldsymbol{0}+\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}}{3} =\frac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).$$

(2) 同様に $$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac13(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})$$ であるから $$\displaystyle \overrightarrow{FG} =\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OF} =\frac13(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}) =\frac13\overrightarrow{BC}.$$ よって $\overrightarrow{FG}$ は $\overrightarrow{BC}$ の正の定数倍であり、$FG\parallel BC$ である。

(3) $M$は $OA$ の中点なので $$\displaystyle \overrightarrow{MB}=\boldsymbol{b}-\frac12\boldsymbol{a},\qquad \overrightarrow{MC}=\boldsymbol{c}-\frac12\boldsymbol{a}.$$ よって $$\displaystyle MB^2=|\boldsymbol{b}-\tfrac12\boldsymbol{a}|^2 =|\boldsymbol{b}|^2-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\frac14|\boldsymbol{a}|^2 =1-\frac12+\frac14=\frac34.$$ 同様に $\displaystyle MC^2=\frac34$ だから $\displaystyle MB=MC=\frac{\sqrt3}{2}$ である。また、三角形 $OBC$ に余弦定理を用いると $$BC^2=OB^2+OC^2-2\,OB\cdot OC\cos 2\theta =2-2\cos 2\theta=4\sin^2\theta.$$ $0<2\theta<\pi$ より $BC=2\sin\theta$ である。

$N$を $BC$ の中点とする。$MB=MC$ より $MN\perp BC$、かつ $BN=\sin\theta$ だから $$\displaystyle MN^2=MB^2-BN^2=\frac34-\sin^2\theta =\frac14(3-4\sin^2\theta).$$ もとの四面体は退化していないので $M,B,C$ は一直線上になく、$MN>0$。さらに $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ であるから $2\sin\theta=BC<2MB=\sqrt3$、従って $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$ となる。ゆえに $$\displaystyle [MBC]=\frac12\,BC\cdot MN =\frac12(2\sin\theta)\left(\frac12\sqrt{3-4\sin^2\theta}\right) =\frac{\sin\theta}{2}\sqrt{3-4\sin^2\theta}.$$