2広島大学 2014年 数学 第2問解答・解説

(1)　 f(x)=g(x)$\quad\text{すなわち}\quad$ x($\sin$ x-$\sqrt{3}$$\cos$ x)=0. したがって，まず x=0 を得る。また $\sin$ x-$\sqrt{3}$$\cos$ x=0 のとき $\cos$ x$\neq$ 0 であるから，$\tan$ x=$\sqrt{3}$ となる。よって x=$\displaystyle \frac{\pi}{3}$+n$\pi$ (nは整数) であり，-$\pi$$\leq$ x$\leq$$\pi$ を満たすのは x=-$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$,$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ である。それぞれ元の関数に代入すると $$\displaystyle (0,0),\quad \left(-\frac{2\pi}{3},\frac{\pi\sqrt{3}}{3}\right),\quad \left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi\sqrt{3}}{6}\right)$$ を得る。

(2) 正の x 座標をもつ共有点は x=$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ の点なので a=$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ である。微分すると $$\displaystyle g'(x)=\sqrt{3}(\cos x-x\sin x),\qquad g(a)=\frac{\pi\sqrt{3}}{6},\qquad g'(a)=\frac{\sqrt{3}-\pi}{2}.$$ したがって，点 A における接線は $$\displaystyle h(x)=g'(a)(x-a)+g(a)=\frac{\sqrt{3}-\pi}{2}x+\frac{\pi^2}{6}.$$

(3) H(x)=h(x)-g(x) とおく。接線の定義より H(a)=H'(a)=0 である。また $$g''(x)=-\sqrt{3}(2\sin x+x\cos x),\qquad H''(x)=\sqrt{3}(2\sin x+x\cos x)\geq 0\quad (0\leq x\leq a),$$ となる。よって H' は $0\le x\le a$ で増加し，H'(a)=0 だから H'(x)$\leq$ 0 である。したがって H は $0\le x\le a$ で減少し，H(a)=0 より H(x)$\geq$ 0。すなわち h(x)$\geq$ g(x) である。

(4) (3)より求める面積 S は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{\pi/3}\{h(x)-g(x)\}\,dx\\ &=\int_0^{\pi/3}\left\{\frac{\sqrt{3}-\pi}{2}x+\frac{\pi^2}{6}\right\}dx -\sqrt{3}\int_0^{\pi/3}x\cos x\,dx\\ &=\frac{\pi^2(\pi+\sqrt{3})}{36}-\sqrt{3}\left[x\sin x+\cos x\right]_0^{\pi/3}\\ &=\frac{\pi^2(\pi+\sqrt{3})}{36}-\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=\frac{\pi^2(\pi+\sqrt{3})}{36}-\frac{\pi-\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}$$