1広島大学 2014年 数学 第1問解答・解説

(1) 点 $P(1,0)$ の像は $$P_1=(a,-2)$$ であり、さらに $$P_2=A\begin{pmatrix}a\\-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a^2-4\\-2a-2b\end{pmatrix}$$ である。$P$ が線分 $P_1P_2$ の中点だから、座標ごとに $$a+(a^2-4)=2,\qquad -2+(-2a-2b)=0$$ を得る。よって $$a^2+a-6=0,\qquad a+b=-1.$$ 前者は $(a+3)(a-2)=0$ と因数分解できる。$a>0$ より $a=2$、したがって $b=-3$ である。このとき $$A=\begin{pmatrix}2&2\\-2&-3\end{pmatrix},\qquad P_1=(2,-2).$$

(2) $\overrightarrow{OP}=(1,0)$ より $$(v_1,v_2)=c(1,0)+(2,-2)=(c+2,-2).$$ これを $A(v_1,v_2)^T=(v_1,v_2)^T$ に代入すると $$\begin{pmatrix}2&2\\-2&-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c+2\\-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}c+2\\-2\end{pmatrix},$$ すなわち $$\begin{pmatrix}2c\\-2c+2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}c+2\\-2\end{pmatrix}.$$ 第1成分から $c=2$ を得る。この値は第2成分も満たす。よって $c=2$ であり、$(v_1,v_2)=(4,-2)$ である。

(3) $P_1=(2,-2)$ だから $$(w_1,w_2)=\overrightarrow{PP_1}=(2,-2)-(1,0)=(1,-2).$$ まず $$A\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&2\\-2&-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix} =-2\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}.$$ $n=1$ で主張は成立する。$n=k$ で $$A^k\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix} =(-2)^k\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}$$ が成立すると仮定すると、 $$A^{k+1}\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix} =A\left(A^k\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}\right) =(-2)^k A\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix} =(-2)^{k+1}\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}.$$ したがって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ で成り立つ。なお、自然数に $0$ を含める場合も、$n=0$ では両辺が $(w_1,w_2)^T$ となる。

(4) $\overrightarrow{OP}=s(v_1,v_2)+t(w_1,w_2)$ に成分を代入すると $$(1,0)=s(4,-2)+t(1,-2)$$ より $$4s+t=1,\qquad s+t=0.$$ したがって $t=-s$ であり、$3s=1$ から $$\displaystyle s=\frac13,\qquad t=-\frac13.$$ また (2) より $A(v_1,v_2)^T=(v_1,v_2)^T$ なので、繰り返し適用して $A^n(v_1,v_2)^T=(v_1,v_2)^T$ である。以上と (3) を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} A^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} &=A^n\left(\frac13\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix} -\frac13\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}\right)\\ &=\frac13\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix} -\frac{(-2)^n}{3}\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}\\ &=\frac13\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix} -\frac{(-2)^n}{3}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{4-(-2)^n}{3}\\[2pt]\dfrac{2(-2)^n-2}{3}\end{pmatrix}. \end{aligned}$$ この式は $n=0$ とする場合にも $(1,0)^T$ を与える。