2東北大学 2008年 数学 第2問解答・解説

$\displaystyle s=\frac1{\sqrt n}$、$\displaystyle c=\sqrt{1-\frac1n}$とおく。三角形 $OA_1A_2$ は $A_2$ で直角、$OA_1=1$ だから、$\angle A_1OA_2=\theta$ とすれば $\sin\theta=s,\ \cos\theta=c$ である。

$OA_1$ を正の $x$ 軸とし、$A_2$ がその上側にあるように座標をとる。$A_2$ への単位方向ベクトルを $\mathbf u=(c,s)$、その垂直単位ベクトルを $\mathbf v=(-s,c)$ とすると $$A_1=(1,0),\qquad A_2=c\mathbf u=(c^2,cs).$$ $A_3$ は $A_2$ の $OA_1$ への正射影、$A_4$ は $A_3$ の $OA_2$ への正射影である。以後も同じ2直線へ交互に正射影するので $$A_{2m+1}=c^{2m}(1,0),\qquad A_{2m+2}=c^{2m+1}\mathbf u\quad(m\ge0).$$ したがって $$\vec h_{2m+1}=A_{2m+2}-A_{2m+1}=c^{2m}s\mathbf v,\qquad \vec h_{2m+2}=A_{2m+3}-A_{2m+2}=-c^{2m+1}s(0,1).$$ また $\mathbf v\cdot(0,1)=c$ であるから、奇数 $k$、偶数 $k$ のどちらでも $$\displaystyle \vec h_k\cdot\vec h_{k+1}=-c^{2k}s^2 =-\frac1n\left(1-\frac1n\right)^k.$$ これが (1) の答えである。

(2) に (1) を代入し、等比数列の和を用いると $$\displaystyle S_n=-\frac1n\sum\limits _{k=1}^{n}\left(1-\frac1n\right)^k =-\frac{n-1}{n}\left\{1-\left(1-\frac1n\right)^n\right\}.$$ $n\ge2$ について $$\displaystyle \left(1-\frac1n\right)^n =\left(1-\frac1n\right)\left(1+\frac1{n-1}\right)^{-(n-1)} \longrightarrow e^{-1}$$ だから、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}S_n=-(1-e^{-1})=e^{-1}-1.$$