5東北大学 2008年 数学 第5問解答・解説

$c=\cos t,\ s=\sin t$ とおくと $$M=cA+sB= \begin{pmatrix} c+as&(a+1)c\\ 2s&-(c+as) \end{pmatrix}.$$ 一般に $\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}^2=(p^2+qr)I$ だから、$M^2=O$ の条件は $$(c+as)^2+2(a+1)cs=0.$$ $s=0$ なら左辺は $c^2=1$ となって不可能。よって $u=c/s$ とおけて、条件は $$u^2+(4a+2)u+a^2=0.$$ 実数 $t$ が存在することは、この二次方程式が実数解 $u$ をもつことと同値である。判別式条件は $$(4a+2)^2-4a^2=4(3a+1)(a+1)\ge0.$$ 従って $a\le-1$ または $a\ge-1/3$。この範囲なら実数解 u を取り、$(c,s)$ を単位ベクトル $(u,1)/\sqrt{u^2+1}$ とすれば実際にその t が存在する。

2×2行列の積を具体的に整理し、トレース0の形の二乗条件をスカラー方程式へ還元。sin t=0を除外した上で tan 型の比 u=cos t/sin t を使い、判別式の必要十分条件と単位円上での実現を示した。