5京都大学 2003年 数学 第5問解答・解説

求める必要十分条件は $$\boxed{\bigl(a=d,\ b=c=0\bigr)\quad\text{または}\quad (a-d)^2+4bc<0}.$$ 以下、成分計算だけで示す。 まず2次の行列$B=\begin{pmatrix}u&v\\w&t\end{pmatrix}$について、$D=ut-vw\ne0$なら $$\displaystyle B^{-1}=\frac1D\begin{pmatrix}t&-v\\-w&u\end{pmatrix}$$ であることは左右からの乗算で確認できる。一方$D=0$かつ$B\ne O$なら、$B\boldsymbol x=\boldsymbol0$となる非零ベクトルが存在する。実際、$(u,v)\ne(0,0)$なら$\boldsymbol x=(v,-u)$、第一行が零なら$\boldsymbol x=(t,-w)$を取ればよい。逆行列があるとこれに逆行列を掛けて$\boldsymbol x=\boldsymbol0$となり矛盾する。従って逆行列の存在条件は$D\ne0$である。 場合1：$a=d,b=c=0$ このとき$A=aE$であり、$rE+sA=(r+sa)E$。零行列でなければ$r+sa\ne0$なので、逆行列は$(r+sa)^{-1}E$となり、条件を満たす。 場合2：$A$が実数倍の$E$でない このとき$rE+sA=O$なら$r=s=0$である。実際$s\ne0$なら$A=-(r/s)E$となり仮定に反し、$s=0$なら$r=0$となる。 $$rE+sA=\begin{pmatrix}r+sa&sb\\sc&r+sd\end{pmatrix}$$ について、逆行列の判定式は $$D=(r+sa)(r+sd)-s^2bc=r^2+(a+d)rs+(ad-bc)s^2.$$ $s=0,r\ne0$では$D=r^2\ne0$。$s\ne0$では$z=r/s$とおくと $$D=s^2\{z^2+(a+d)z+ad-bc\}.$$ すべての実数$r,s$（ただし同時に零でない）で$D\ne0$となる必要十分条件は、この$z$の二次方程式が実根をもたないことである。その判別式は $$(a+d)^2-4(ad-bc)=(a-d)^2+4bc.$$ よって場合2では、この値が負であることが必要十分である。場合1と合わせて冒頭の結論を得る。