1秋田大学 2011年 数学 第1問解答・解説

大小の区別できる2個のさいころの出目の組 $a,b$ は36通りで、すべて同様に確からしい。

(i) 二次方程式 $f(x)=0$ の判別式は $D=a^2-4b$ である。固定した $a=1,2,3,4,5,6$ ごとに $D\geq0$ となる、1から6までの整数$b$の個数は順に $0,1,2,4,6,6$ 通りだから、該当する組は $19$ 通り。確率は $19/36$。

(ii) $f$ が整数根を1つもてば、解の和が $a$ なので他方の根も整数である。解の積は $b>0$、和は $a>0$ だから両根は正の整数である。正の整数根の和を $a$、積を $b\leq6$ とする組は $(a,b)=(2,1),(3,2),(4,3),(4,4),(5,4),(5,6),(6,5)$ の7通り。よって確率は $7/36$。

(iii) 展開して $g(x)=(x-b)(x^2-ax+b)=(x-b)f(x)$ を得る。したがって $g$ の整数根は、整数 $b$ と $f$ の整数根から得られる。 (ii) の7組を調べると、$(2,1)$ では根は $1$ のみ、$(5,6)$ では $2,3,6$ の3個である。他の $(3,2),(4,3),(4,4),(5,4),(6,5)$ では、それぞれ異なる整数根が $(1,2),(1,3),(2,4),(1,4),(1,5)$ となり、ちょうど2個である。該当する組は5通りなので、確率は $5/36$。