2秋田大学 2011年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} \text{(i)}\quad & C_2:x^2+y^2-20x-10y+75=0,\quad C_1:x^2+y^2-25=0.\\ &\text{差をとると}\quad 2x+y=10.\\ &y=10-2x\ \text{を}\ C_1\ \text{に代入して}\quad 5x^2-40x+75=0,\\ &\quad (x-3)(x-5)=0,\quad \text{交点は}\ A(3,4),B(5,0).\\ &C_3:x^2+y^2+Dx+Ey=0\ \text{とおく。}\quad B\ \text{より}\ D=-5,\quad A\ \text{より}\ E=-\frac52.\\ &\left(x-\frac52\right)^2+\left(y-\frac54\right)^2=\frac{125}{16},\\ &\text{中心}\ \left(\frac52,\frac54\right),\quad \text{半径}\ \frac{5\sqrt5}{4}.\\[2pt] \text{(ii)}\quad & \text{中心を}\ (h,k),\ \text{半径を}\ r\ \text{とする円上で、}\ -x+2y=s\ \text{の直線が接するとき、}\\ &\text{中心から直線までの距離は}\ r.\quad \text{この直線の法線の長さは}\ \sqrt5,\\ &\text{なので最大値は}\ -h+2k+\sqrt5r.\quad C_3\ \text{では}\ -h+2k=0,\\ &\text{よって}\quad \sqrt5\cdot\frac{5\sqrt5}{4}=\frac{25}{4}.\\[2pt] \text{(iii)}\quad & A,B\ \text{から等距離の点は}\ AB\ \text{の垂直二等分線上にある。}\\ &AB\ \text{の中点は}\ (4,2),\quad AB\ \text{の傾きは}\ -2,\\ &\text{だから垂直二等分線は}\quad y-2=\frac12(x-4),\quad \text{すなわち}\ y=\frac{x}{2}.\\ &\text{この直線上の任意の点を中心とし、}\ A,B\ \text{までの距離を半径とすれば円が得られる。}\\ &\text{したがって軌跡全体は}\quad y=\frac{x}{2}.\\[2pt] \text{(iv)}\quad & \text{中心を}\ (t,\frac{t}{2})\ \text{とおくと、}\\ &r^2=(t-3)^2+\left(\frac{t}{2}-4\right)^2=\frac54(t-4)^2+5.\\ &\text{この中心では}\ -h+2k=0\ \text{なので}\quad \max(2y-x)=\sqrt5r.\\ &r^2\ \text{は}\ t=4\ \text{で最小となり、中心}\ (4,2),\quad r=\sqrt5\ \text{を得る}. \end{aligned}$$

(i) 2円の式を引くと共通弦は $2x+y=10$。$y=10-2x$ を $C_1$ に代入して交点 $(3,4),(5,0)$ を得る。これらと原点を通る円の一般形に代入すると $\displaystyle x^2+y^2-5x-\frac52y=0$、中心 $\displaystyle (\frac52,\frac54)$、半径 $\displaystyle \frac{5\sqrt5}{4}$。(ii) 円の中心を $(h,k)$、半径を $r$ とすると、円上の $2y-x$ の最大値は $-h+2k+\sqrt5r$。$C_3$ では中心値が0なので最大値は $\displaystyle \frac{25}{4}$。(iii) 交点間の垂直二等分線が中心の軌跡であり、$\displaystyle y=\frac{x}{2}$。(iv) 中心を $\displaystyle (t,\frac t2)$ とおくと $\displaystyle r^2=\frac54(t-4)^2+5$。中心値は常に0だから最大値の最小化は半径の最小化と同じで、$t=4$、中心 $(4,2)$、半径 $\sqrt5$。