金沢大学 2011年数学第1問解答・解説

図形と計量図形と方程式三角関数微分・積分の考え微分法

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1問題

金沢大学2011年度第1問

座標平面上に点 A(2 cos θ, 2 sin θ), B(4/3, 0), C(cos θ, −sin θ) がある。ただし、0<θ<πとする。次の問いに答えよ。

(1) 直線 AC と x 軸の交点を P とする。P の座標を θ で表せ。

(2) △ABC の面積 S(θ) を求めよ。

(3) 面積 S(θ) の最大値とそのときの θ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

(1) 直線ACを媒介変数表示する。(2) 座標を用いた三角形の面積公式で面積を求める。(3) 三角関数の微分と導関数の符号で最大を決める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle P=\left(\frac{4}{3}\cos\theta,0\right),\quad S(\theta)=2\sin\theta(1-\cos\theta),\quad S_{\max}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ at $\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3}.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{(1) }0<\theta<\pi\text{ より }\sin\theta>0.\quad (x,y)=A+t(C-A)=(2\cos\theta-t\cos\theta,2\sin\theta-3t\sin\theta).\quad y=0\quad\text{より}\quad t=\frac23,\quad P=\left(\frac43\cos\theta,0\right).\\[6pt] \text{(2) }\overrightarrow{AB}=\left(\frac43-2\cos\theta,-2\sin\theta\right),\quad \overrightarrow{AC}=(-\cos\theta,-3\sin\theta).\\ S(\theta)=\frac12\left|\left(\frac43-2\cos\theta\right)(-3\sin\theta)-(-2\sin\theta)(-\cos\theta)\right|=\frac12|4\sin\theta(\cos\theta-1)|=2\sin\theta(1-\cos\theta).\\[6pt] \text{(3) }S'(\theta)=2\{\cos\theta(1-\cos\theta)+\sin^2\theta\}=2(1-\cos\theta)(2\cos\theta+1).\quad 0<\theta<\pi\text{ では }1-\cos\theta>0\text{ なので、}\\ S'(\theta)>0\quad (0<\theta<\frac{2\pi}{3}),\qquad S'(\theta)<0\quad (\frac{2\pi}{3}<\theta<\pi).\\ \therefore\ S(\theta)\text{ は }\theta=\frac{2\pi}{3}\text{ で最大となり、}S\left(\frac{2\pi}{3}\right)=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\left(1+\frac12\right)=\frac{3\sqrt3}{2}.$

この問題で使う考え方

三角比による面積
直線の方程式
三角関数の相互関係
導関数と増減
極大・極小
三角関数の微分

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