3金沢大学 2011年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }t\ge0\text{ とする。 }f(t)=t-\sin t\text{ とおくと }f(0)=0,\ f'(t)=1-\cos t\ge0\text{ より }\sin t\le t.\text{ よって}\\1-\cos\frac{x}{2}=\int_0^{x/2}\sin t\,dt\le\int_0^{x/2}t\,dt=\frac{x^2}{8}\quad(x\ge0).\\\text{(2) }\int xe^x\,dx=(x-1)e^x\text{ だから }I_1=[(x-1)e^x]_0^2=e^2+1.\text{ また }n\ge2\text{ では部分積分により}\\I_n=[x^ne^x]_0^2-n\int_0^2x^{n-1}e^x\,dx=2^ne^2-nI_{n-1}.\\\text{(3) 漸化式を順に用いると}\\\begin{aligned}I_2&=4e^2-2(e^2+1)=2e^2-2,\\I_3&=8e^2-3(2e^2-2)=2e^2+6,\\I_4&=16e^2-4(2e^2+6)=8e^2-24,\\I_5&=32e^2-5(8e^2-24)=-8e^2+120.\end{aligned}\\\text{(4) }0\le x\le4\text{ で (1) を適用し、}e^{\sqrt{x}}>0\text{ を掛けて積分すると}\\\int_0^4\left(1-\cos\frac{x}{2}\right)e^{\sqrt{x}}\,dx\le\frac18\int_0^4x^2e^{\sqrt{x}}\,dx.\text{ 右辺で }t=\sqrt{x}\text{ と置けば}\\\frac18\int_0^4x^2e^{\sqrt{x}}\,dx=\frac14\int_0^2t^5e^t\,dt=\frac14 I_5=\frac14(-8e^2+120)=-2e^2+30.\text{ したがって所望の不等式が成り立つ。}$$