4佐賀大学 2023年 数学 第4問解答・解説

・ $\cos\theta\ne0$ の範囲で、商の微分法より $$\displaystyle (\tan\theta)'=\left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)'=\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}.$$ また、$\sin\theta\ne0$ の範囲で $$\displaystyle \left(-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)'=\frac{1}{\sin^2\theta}$$ である。したがって $$\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{1}{\sin^2\theta}\,d\theta=\left[-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right]_{\pi/4}^{\pi/2}=0-(-1)=1.$$

・ $\cos\theta\ne0$ ならば $1-\sin^2\theta=\cos^2\theta$ より $$\displaystyle \frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}=\frac{\cos\theta\{(1-\sin\theta)+(1+\sin\theta)\}}{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)}=\frac{2\cos\theta}{\cos^2\theta}=\frac{2}{\cos\theta}.$$ 区間 $0\le\theta\le\pi/6$ では $1\pm\sin\theta>0$ だから、この等式を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{\pi/6}\frac{1}{\cos\theta}\,d\theta&=\frac12\int_0^{\pi/6}\left(\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}\right)d\theta\\ &=\frac12\left[\log(1+\sin\theta)-\log(1-\sin\theta)\right]_0^{\pi/6}\\ &=\frac12\{\log(3/2)-\log(1/2)\}=\frac12\log3. \end{aligned}$$

・ $\displaystyle I=\displaystyle\int_0^{\pi/6}\frac{1}{\cos^3\theta}\,d\theta$ とおく。部分積分により $$\displaystyle \begin{aligned} I&=\left[\frac{\tan\theta}{\cos\theta}\right]_0^{\pi/6}-\int_0^{\pi/6}\frac{\tan^2\theta}{\cos\theta}\,d\theta\\ &=\frac23-\int_0^{\pi/6}\left(\frac{1}{\cos^3\theta}-\frac{1}{\cos\theta}\right)d\theta\\ &=\frac23-I+\frac12\log3. \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle I=\frac13+\frac14\log3.$$