5宮崎大学 2018年 数学 第5問解答・解説

(1) 定義域では $\cos$ x>0 である。 $$\displaystyle f'(x)=\frac{3\sin x}{\cos^4 x}.$$ したがって -$\displaystyle \frac{\pi}{2}$<x<0 では f'(x)<0、0<x<$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ では f'(x)>0 である。よって f は (-$\displaystyle \frac{\pi}{2}$,0) で減少し、(0,$\displaystyle \frac{\pi}{2}$) で増加する。f(0)=1 だから、x=0 で極小値 1 をとり、極大値はない。 $$\displaystyle f''(x)=3\left(\frac{1}{\cos^3 x}+\frac{4\sin^2 x}{\cos^5 x}\right)=\frac{3(1+3\sin^2 x)}{\cos^5 x}>0.$$ よって C は定義域全体で下に凸であり、凹凸は変わらないので変曲点はない。また f(-x)=f(x) より y 軸対称で、x$\to$$\pm$$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ のとき f(x)$\to$+$\infty$ となる。これらの性質から、両端に向かって上昇し、(0,1) を底とする曲線となる。

(2) 0$\le$ x$\le$$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ では $\cos$ x>0 なので、u=$\sin$ x とおくと du=$\cos$ x dx より $$\displaystyle \int_0^{\pi/3}\frac{1}{\cos x}\,dx=\int_0^{\sqrt{3}/2}\frac{1}{1-u^2}\,du=\frac12\left[\log\frac{1+u}{1-u}\right]_0^{\sqrt{3}/2}.$$ ここで (2+$\sqrt{3}$)(2-$\sqrt{3}$)=1 だから、求める値は $\log$(2+$\sqrt{3}$) である。

(3) 0$\le$ x$\le$$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ で f(x)>0 だから、面積は $$\displaystyle S=\int_0^{\pi/3}\frac{1}{\cos^3 x}\,dx.$$ この積分を I とおき、部分積分を用いると $$\displaystyle I=\left[\frac{1}{\cos x}\tan x\right]_0^{\pi/3}-\int_0^{\pi/3}\frac{1}{\cos x}\tan^2x\,dx=2\sqrt{3}-I+\int_0^{\pi/3}\frac{1}{\cos x}\,dx,$$ となる。最後の積分は (2) の値なので、2I=2$\sqrt{3}$+$\log$(2+$\sqrt{3}$)、したがって $$\displaystyle S=I=\sqrt{3}+\frac12\log(2+\sqrt{3}).$$ なお、この値は正であり、積分区間で被積分関数が正であることと一致する。