2宮崎大学 2018年 数学 第2問解答・解説

PDF p.6上部「医学部」、問2の各袋赤1白2・同時取り出し後交換・無作為、(1)〜(4)を画像確認。

(1) 1回目の試行の前には袋A、Bのそれぞれに赤玉が1個ずつある。袋Aと袋Bから同じ色の玉を取り出すと、交換後も袋Aには赤玉が1個入る。赤玉どうしを取り出す確率は$\displaystyle \frac13\cdot\frac13=\frac19$、白玉どうしを取り出す確率は$\displaystyle \frac23\cdot\frac23=\frac49$であるから、$$\displaystyle P_1=\frac19+\frac49=\frac59.$$ 袋Aの赤玉が2個になるのは、Aから白玉、Bから赤玉を取り出す場合なので$\displaystyle Q_1=\frac23\cdot\frac13=\frac29$。袋Aから赤玉、Bから白玉を取り出す場合は袋Aに赤玉がなくなるので$\displaystyle R_1=\frac13\cdot\frac23=\frac29$。

(2) 袋Aの赤玉数が1個の状態から次の試行後も1個である確率は$\displaystyle \frac59$、赤玉数が0個または2個の状態から1個になる確率はそれぞれ$\displaystyle \frac23$である。したがって(3)で得る漸化式に$\displaystyle P_1=\frac59$を代入して、$$\displaystyle P_2=\frac23-\frac19P_1=\frac23-\frac{5}{81}=\frac{49}{81}.$$

(3) n回後に袋Aの赤玉数が1個なら、袋A、Bはともに赤玉1個、白玉2個である。次の試行後も袋Aの赤玉数が1個となるのは両袋から同じ色を取り出すときで、その確率は$\displaystyle \frac19+\frac49=\frac59$である。n回後に袋Aの赤玉数が2個なら、袋Aは赤玉2個、白玉1個で袋Bは白玉3個である。次に袋Aから赤玉を引く確率は$\displaystyle \frac23$であり、袋Bからは必ず白玉を引くので、次の試行後に袋Aの赤玉数が1個となる確率は$\displaystyle \frac23$。袋Aの赤玉数が0個の場合も対称に、次の試行後に1個となる確率は$\displaystyle \frac23$である。よって$P_n+Q_n+R_n=1$を用いると、$$\displaystyle P_{n+1}=\frac59P_n+\frac23(Q_n+R_n)=\frac59P_n+\frac23(1-P_n)=\frac23-\frac19P_n.$$

(4) 漸化式の定数解を$p$とすると$\displaystyle p=\frac23-\frac19p$より$\displaystyle p=\frac35$。したがって$$\displaystyle P_{n+1}-\frac35=-\frac19\left(P_n-\frac35\right).$$ 初項は$\displaystyle P_1-\frac35=\frac59-\frac35=-\frac{2}{45}$であるから、$$\displaystyle P_n-\frac35=-\frac{2}{45}\left(-\frac19\right)^{n-1}.$$ よって$$\displaystyle P_n=\frac35-\frac{2}{45}\left(-\frac19\right)^{n-1}.$$ n=1では$\displaystyle P_1=\frac59$、n=2では$\displaystyle P_2=\frac{49}{81}$となり、それぞれ(1)、(2)と一致する。