7秋田大学 2016年 数学 第7問解答・解説

(i) 操作後の袋Aの白玉数を $W$ とする。最初に袋Aから移す玉が白である事象を $I=1$、黒なら $I=0$ とし、次に袋Bから戻す玉が白である事象を $J=1$、黒なら $J=0$ とおく。このとき $W=3-I+J$ である。 $$\displaystyle E(I)=\frac37,\qquad E(J)=\frac37\cdot\frac46+\frac47\cdot\frac36=\frac47,$$ したがって $\displaystyle E(W)=3-\frac37+\frac47=\frac{22}{7}$。操作後の袋Aは7個なので、そこから1個引いて白である確率は $E(W)/7=22/49$。

(ii) 操作後に袋Bの白玉が2個となるのは、最初に袋Aから黒玉を移し、その後袋Bから白玉を戻す場合に限る。この確率は $\displaystyle \frac47\cdot\frac36=\frac27$ である。この場合、袋Aの白玉は4個なので、そこから白玉を引く確率は $4/7$。よって「袋Bが白2個」かつ「袋Aから白を引く」確率は $\displaystyle \frac27\cdot\frac47=\frac8{49}$ である。したがって求める条件付き確率は $$\displaystyle \frac{8/49}{22/49}=\frac4{11}.$$

(iii) 硬貨が表なら袋Aに白玉を加えるため、白玉を引く確率は $(W+1)/8$。裏なら袋Aはそのままなので、その確率は $W/7$ である。表・裏はそれぞれ確率 $1/2$ であり、操作後の $E(W)=22/7$ を使うと $$\displaystyle E\!\left(\frac{W+1}{8}\right)=\frac{29}{56},\qquad E\!\left(\frac W7\right)=\frac{22}{49}.$$ よって、白玉を引いたという条件のもとで白玉を袋Aに加えた確率は $$\displaystyle \frac{\frac12\cdot\frac{29}{56}}{\frac12\cdot\frac{29}{56}+\frac12\cdot\frac{22}{49}} =\frac{29/112}{379/784}=\frac{203}{379}.$$