鹿児島大学／2008年度／前期

鹿児島大学 2008年数学第5問解答・解説

図形と方程式三角関数場合の数と確率統計的な推測平面上の曲線と複素数平面数学的な表現の工夫

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1問題

鹿児島大学2008年度第5問

次の4問のうちから1問を選択して解答せよ。解答用紙の所定の欄に，解答する問題の番号を記入すること。

5--1 行列 $A$ を， $\displaystyle A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1&\sqrt{3}\\\sqrt{3}&1\end{pmatrix}$ により与え， $xy$ 平面での $y$ 軸に関する点の対称移動を表す行列を $B$ とする。このとき，次の各問いに答えよ。

(1) $n$ を自然数とするとき， $A^{n}$ を求めよ。

(2) 行列 $AB$ は $xy$ 平面の原点を中心とする角 $\theta\ (0^{\circ}\leq\theta\leq360^{\circ})$ の回転移動を表す行列である。 $\theta$ の値を求めよ。

(3) $xy$ 平面の原点を中心とした $60^{\circ}$ の回転移動を表す行列を $C$ とするとき， $C^{n}B=A^{n}$ となる6以下の自然数 $n$ を求めよ。

5--2 極方程式 $\displaystyle r=a\cos\theta\ \left(-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\right)$ で与えられる曲線を $C_{1}$ とする。ただし， $a$ は正の定数である。このとき，次の各問いに答えよ。

(1) 曲線 $C_{1}$ 上の点 $P$ と極 $O$ を結ぶ直線 $OP$ の点 $P$ の側の延長上に $PQ=a$ となるように点 $Q$ をとる。点 $P$ が $C_{1}$ 上を動くときの点 $Q$ の軌跡 $C_{2}$ の極方程式を求めよ。

(2) (1)で求めた曲線 $C_{2}$ 上の点 $Q(r_{0},\theta_{0})$ を通り，点 $Q$ と極 $O$ を結ぶ直線に垂直な直線を $l$ とする。直線 $l$ の直交座標 $(x,y)$ に関する方程式を求めよ。

(3) (2)で求めた直線 $l$ は，点 $Q$ に関係なく常に点 $(a,0)$ を中心とし半径が $a$ の円に接することを証明せよ。

5--3 $1,2,3,4$ の番号をつけた4枚のカードがある。この中からカードを1枚取り出し，そこに書かれている番号を見るという試行を繰り返す。ただし，取り出したカードはもとに戻さない。この試行は，取り出したカードに書かれた番号の合計が3の倍数になるか，または4枚全部を取り出したときに終了する。取り出したカードに書かれた番号の合計が3の倍数になったとき，この試行は成功したとよぶ。4枚全部を取り出したとき，この試行は失敗したとよぶ。この試行の得点 $X$ は，成功したときは取り出したカードの枚数とし，失敗したときは0点とする。このとき，次の各問いに答えよ。

(1) 確率 $P(X=1)$ および $P(X=2)$ を求めよ。

(2) この試行が成功する確率を求めよ。また，得点の平均（期待値） $E(X)$ を求めよ。

(3) 取り出したカードに書かれた番号の和が6となる確率を求めよ。さらに，取り出したカードに書かれた番号の和が6であることが分かっているとき， $X=3$ である条件つき確率を求めよ。

5--4 確率変数 $Z$ が平均0，分散1の標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとするとき， $P(Z>1.65)=0.05,\ P(Z>1.96)=0.025$ であるとして，次の各問いに答えよ。

(1) 確率変数 $X$ は平均65，分散 $20^{2}$ の正規分布 $N(65,20^{2})$ に従うとする。確率 $P(X>c)$ が0.05となるような $c$ を求めよ。

(2) 母平均 $m$ ，母分散 $20^{2}$ の母集団から大きさ100の無作為標本を抽出し，その標本平均を $\overline{X}$ とする。標本の大きさ100は十分大きい数であるとみなせるとする。このとき， $\overline{X}$ が近似的に従う確率分布を答えよ。また，母平均 $m$ の信頼度95%の信頼区間を $\overline{X}$ を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

各小問を行列の成分計算、極座標と直交座標、停止条件を反映した順列の数え上げ、正規分布の標準化と標本平均の分散に分けて独立に解いた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

5-1(1) $\quad A^n=\begin{cases}I_2&(n\text{ が偶数})\\A&(n\text{ が奇数})\end{cases}.\quad$ 5-1(2) $\quad \theta=300^\circ.\quad$ 5-1(3) $\quad n=5.\quad$ 5-2(1) $\displaystyle \quad r=a(1+\cos\theta)\;(-\tfrac{\pi}{2}\leq\theta\leq\tfrac{\pi}{2}).\quad$ 5-2(2) $\quad x\cos\theta_0+y\sin\theta_0=r_0=a(1+\cos\theta_0).\quad$ 5-2(3) $\quad d((a,0),l)=a$ より接する $.\quad$ 5-3(1) $\displaystyle \quad P(X=1)=\tfrac14,\;P(X=2)=\tfrac13.\quad$ 5-3(2) $\quad P($ 成功 $\displaystyle )=\tfrac34,\;E(X)=\tfrac{17}{12}.\quad$ 5-3(3) $\quad P($ 和 $\displaystyle =6)=\tfrac14,\;P(X=3\mid$ 和 $\displaystyle =6)=\tfrac13.\quad$ 5-4(1) $\quad c=98.\quad$ 5-4(2) $\quad \overline{X}$ は近似的に $N(m,2^2)$ に従い、信頼区間は $[\overline{X}-3.92,\overline{X}+3.92].$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

5-1

まず、具体的に計算すると $\displaystyle A^2=\frac14\begin{pmatrix}1+3&-\sqrt3+\sqrt3\\-\sqrt3+\sqrt3&3+1\end{pmatrix}=I_2.$ したがって、 $A^n$ は $n$ が偶数なら $I_2$ 、奇数なら $A$ である。また、 $B=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$ より $\displaystyle AB=\frac12\begin{pmatrix}1&\sqrt3\\-\sqrt3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos300^\circ&-\sin300^\circ\\\sin300^\circ&\cos300^\circ\end{pmatrix}.$ よって $\theta=300^\circ$ 。 $C=\begin{pmatrix}\cos60^\circ&-\sin60^\circ\\\sin60^\circ&\cos60^\circ\end{pmatrix}$ とする。 $n$ が奇数なら $A^n=A$ であり、 $C^nB=A$ の両辺に右から $B$ をかけると $C^n=AB=R_{300^\circ}$ となる。したがって $60^\circ n\equiv300^\circ\pmod{360^\circ}$ 、 $1\leq n\leq6$ より $n=5$ 。一方、 $n$ が偶数なら同じ式から $C^n=B$ が必要となるが、 $n=2,4,6$ に対する $C^n$ はそれぞれ $120^\circ,240^\circ,360^\circ$ の回転行列であり、いずれも $B$ と異なる。よって求める値は $n=5$ だけである。

5-2

$P$ の極座標を $(a\cos\theta,\theta)$ とすると、 $Q$ は同じ方向の $P$ の先にあり $PQ=a$ だから、 $Q$ の極座標は $(a\cos\theta+a,\theta)$ である。よって $\displaystyle C_2:\quad r=a(1+\cos\theta),\qquad -\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}.$ $Q(r_0,\theta_0)$ における $OQ$ の方向の単位ベクトルは $(\cos\theta_0,\sin\theta_0)$ である。これが直線 $l$ の法線ベクトルなので、 $l$ の方程式は $x\cos\theta_0+y\sin\theta_0=r_0=a(1+\cos\theta_0).$ この法線ベクトルの長さは $1$ である。直線の左辺に円の中心 $(a,0)$ を代入した値は $a\cos\theta_0$ であり、右辺との差の絶対値は $a(1+\cos\theta_0)-a\cos\theta_0=a$ である。したがって中心から直線 $l$ までの距離は $a$ であり、半径 $a$ の円に接する。

5-3

全てのカードの並べ方は $4!=24$ 通りで同様に確からしい。1枚目で合計が3の倍数となるのは最初が3の場合なので $P(X=1)=1/4$ 。2枚で初めて合計が3の倍数になる順序付きの組は $(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)$ の4通りで、残り2枚の順序は各2通りある。よって $P(X=2)=4\cdot2/24=1/3$ 。 3枚で初めて成功する順序は $(1,3,2),(2,3,1),(2,3,4),(4,3,2)$ の4通りである。従って $P(X=3)=4/24=1/6$ 。4枚の合計は10で3の倍数ではないため、成功確率は $\displaystyle P(\text{成功})=\frac14+\frac13+\frac16=\frac34.$ 失敗時の得点は0だから、 $\displaystyle E(X)=1\cdot\frac14+2\cdot\frac13+3\cdot\frac16+0\cdot\frac14=\frac{17}{12}.$ 合計が6となるのは、2枚で $(2,4),(4,2)$ を引いて終了する場合と、3枚で $(1,3,2),(2,3,1)$ を引いて終了する場合である。前者は $4$ 通りの全順列、後者は $2$ 通りの全順列に対応するので $\displaystyle P(\text{和}=6)=\frac{4+2}{24}=\frac14.$ このうち $X=3$ の場合は後者の $2$ 通りであるから、 $\displaystyle P(X=3\mid\text{和}=6)=\frac{2/24}{6/24}=\frac13.$

5-4

$Z=(X-65)/20$ と標準化すると、 $\displaystyle P(X>c)=P\!\left(Z>\frac{c-65}{20}\right)=0.05.$ 与えられた値より $(c-65)/20=1.65$ 、したがって $c=65+20\cdot1.65=98$ 。標本平均 $\overline X$ の平均は $m$ 、分散は $20^2/100=4$ なので、標本サイズが十分大きいという条件のもとで $\overline X$ は近似的に $N(m,4)=N(m,2^2)$ に従う。標準化すると $(\overline X-m)/2$ は近似的に標準正規分布に従う。標準正規分布の対称性と $P(Z>1.96)=0.025$ から、中央の確率は0.95である。よって $\displaystyle P\!\left(-1.96\leq\frac{\overline X-m}{2}\leq1.96\right)\simeq0.95,$ これを $m$ について整理すると、信頼度95%の信頼区間は、 $\overline X-1.96\cdot2\le m\le\overline X+1.96\cdot2$ 、すなわち $\overline X-3.92\le m\le\overline X+3.92$ と表される。

この問題で使う考え方

三角関数の相互関係
直線の方程式
座標による距離
円の方程式
確率の基本法則
条件付き確率
期待値
正規分布

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