5筑波大学 2002年 数学 第5問解答・解説

・ 極座標と直交座標の関係 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ を用いる。極方程式に $r$ を掛け、差の余弦を展開すると $$r^2=2ar\cos(a-\theta) =2ar(\cos a\cos\theta+\sin a\sin\theta) =2a(x\cos a+y\sin a).$$ したがって $$x^2+y^2=2a(x\cos a+y\sin a),$$ すなわち $$(x-a\cos a)^2+(y-a\sin a)^2=a^2.$$ これは中心 $(a\cos a,a\sin a)$、半径 $a$ の円である。

・ 直線 $y=-x$ を $x+y=0$ と書く。この直線と円の中心 $(a\cos a,a\sin a)$ との距離は $$\displaystyle \frac{|a\cos a+a\sin a|}{\sqrt2}.$$ 半径が $a>0$ なので、接する条件は $$\displaystyle \frac{|a(\cos a+\sin a)|}{\sqrt2}=a \quad\text{すなわち}\quad |\cos a+\sin a|=\sqrt2.$$ $\displaystyle \cos a+\sin a=\sqrt2\cos(a-\frac{\pi}{4})$ より、これは $$\displaystyle |\cos(a-\tfrac{\pi}{4})|=1 \quad\text{すなわち}\quad a-\frac{\pi}{4}=n\pi\quad(n\text{ は整数})$$ と同値である。さらに $a>0$ より $n=0,1,2,\ldots$ である。したがって $$\displaystyle a=\frac{\pi}{4}+n\pi\quad(n=0,1,2,\ldots).$$