4福井大学 2015年 数学 第4問解答・解説

agraph{(1)} $P=(2\cos\theta,2\sin\theta)$ とおき、$c=\cos\theta$、$s=\sin\theta$ とする。直線 $AP$ の方向ベクトルは $$\overrightarrow{AP}=(2c+1,2s)$$ である。このベクトルを法線ベクトルとし、$P$ を通る直線 $\ell$ の方程式は $$(2c+1)(x-2c)+2s(y-2s)=0.$$ $c^2+s^2=1$ を用いて整理すると $$\boxed{(2\cos\theta+1)x+2\sin\theta\,y=4+2\cos\theta}.$$ なお $\overrightarrow{AP}$ は零ベクトルにならないので、この直線はすべての $\theta$ で定まる。

agraph{(2)} $AP\perp\ell$ であり、点 $P$ は直線 $\ell$ 上にあるから、$A$ から $\ell$ への垂線の足は $P$ である。反射の定義より $P$ は線分 $AC$ の中点なので、 $$C=2P-A=(4c+1,4s).$$ したがって $\overrightarrow{BC}=(4c,4s)$、よって $BC=4$ である。直線 $BC$ 上の点を $$Q=B+t\overrightarrow{BC}=(1+4tc,4ts)$$ と表す。これを (1) の直線 $\ell$ の方程式に代入すると $$(2c+1)(1+4tc)+8ts^2=4+2c.$$ 左辺は $1+2c+4t(2c^2+c+2s^2)=1+2c+4t(2+c)$ となるため、 $$\displaystyle t=\frac{3}{4(2+c)}.$$ $c\geq-1$ より $2+c\geq1$ なので $t>0$ である。従って $$\displaystyle \boxed{BQ=t\,BC=\frac{3}{2+\cos\theta}}.$$

agraph{(3)} (2) の $t$ を用いると、点 $Q$ の座標は $$\displaystyle x=1+\frac{3c}{2+c},\qquad y=\frac{3s}{2+c}.$$ ここで $1\leq2+c\leq3$ だから $\displaystyle x=4-\frac{6}{2+c}$ は $-2\leq x\leq2$ を満たす。特に $4-x>0$ である。上の式を $c,s$ について解けば $$\displaystyle c=\frac{2(x-1)}{4-x},\qquad s=\frac{2y}{4-x}.$$ $c^2+s^2=1$ を代入して $$4\bigl((x-1)^2+y^2\bigr)=(4-x)^2.$$ 展開すると $3x^2+4y^2=12$、すなわち $$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.$$ よって $Q$ は原点を中心とする楕円上にある。逆に、この楕円上の任意の点 $(x,y)$ は $|x|\leq2$ を満たすので $4-x>0$ であり、 $$\displaystyle c=\frac{2(x-1)}{4-x},\qquad s=\frac{2y}{4-x}$$ とおける。楕円の方程式から $c^2+s^2=1$ となるため、ある $0\leq\theta<2\pi$ が存在して $c=\cos\theta$、$s=\sin\theta$ となる。また $\displaystyle 2+c=\frac{6}{4-x}$ だから、この $\theta$ に対する上の座標式は元の $(x,y)$ を与える。従って軌跡は楕円全体である。

標準形から半長軸は $2$、半短軸は $\sqrt3$ である。長軸の長さは $4$、短軸の長さは $2\sqrt3$ なので、求める比は $$\boxed{4:2\sqrt3=2:\sqrt3}.$$