3福井大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) $a_n=m$ であるための必要十分条件は $$m\leq \sqrt{2n-1}<m+1$$ である。$m>0$ なので、これは各辺を2乗した条件 $$m^2\leq 2n-1<(m+1)^2$$ と同値である。$2n-1$ は奇数なので、$m$ の偶奇で取り得る範囲を分ける。

$m=2r$（$r$ は正の整数）のとき、条件は $$4r^2+1\leq 2n-1\leq 4r^2+4r-1,$$ すなわち $$2r^2+1\leq n\leq 2r^2+2r$$ となる。この範囲の整数 $n$ は $2r=m$ 個である。

$m=2r-1$（$r$ は正の整数）のとき、条件は $$4r^2-4r+1\leq 2n-1\leq 4r^2-1,$$ すなわち $$2r^2-2r+1\leq n\leq 2r^2$$ となる。この範囲の整数 $n$ は $2r=m+1$ 個である。したがって、$m$ が偶数なら $m$ 個、$m$ が奇数なら $m+1$ 個である。

(2) (1)より、$m=2r-1$ と $m=2r$ はそれぞれ $2r$ 項ずつ続く。$r=1,\ldots,6$ に対するこれらの組は全部で $$\displaystyle \sum\limits _{r=1}^{6}4r=84$$ 項であり、各組の和は $$(2r-1)\cdot 2r+(2r)\cdot 2r=8r^2-2r$$ である。次の $m=13$ は14項続くので、第85項から第98項までが13である。また $$14^2=196\leq 2\cdot100-1=199<225=15^2$$ より $a_{100}=14$ であり、第99、100項はともに14である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^{100}a_k &=\sum\limits _{r=1}^{6}(8r^2-2r)+13\cdot14+14\cdot2\\ &=8(1^2+2^2+\cdots+6^2)-2(1+2+\cdots+6)+182+28\\ &=8\cdot91-2\cdot21+210\\ &=896. \end{aligned}$$

(3) 最初の12項では、$a_n=1$ が2回、$a_n=2$ が2回、$a_n=3$ が4回、$a_n=4$ が4回現れる。したがって $$\displaystyle T_{12}=2\cdot1+2\cdot\frac12+4\cdot\frac13+4\cdot\frac14=\frac{16}{3}.$$

$T_{40}$ までを値ごとのまとまりで足すと $$\displaystyle \begin{aligned} T_{40} &=2+1+\frac43+1+\frac65+1+\frac87+1\\ &=\frac{1016}{105}<10. \end{aligned}$$ $m=9$ のまとまりは第41項から第50項までであり、各項は $1/9$ を $T_n$ に加える。よって $$\displaystyle T_{42}=\frac{1016}{105}+\frac29=\frac{3118}{315}<\frac{3150}{315}=10,$$ 一方 $$\displaystyle T_{43}=\frac{1016}{105}+\frac39=\frac{1051}{105}=10+\frac1{105}>10.$$ 各 $a_k$ は正なので $T_n$ は $n$ とともに増加する。したがって $T_n>10$ を満たす最小の $n$ は $43$ である。