1福井大学 2015年 数学 第1問解答・解説

・ $E$ は線分 $AD$ 上にあるから，ある実数 $u$ を用いて $$\overrightarrow{OE}=(1-u)\vec a+uq\vec b$$ と表せる。また $E$ は線分 $BC$ 上にもあるから，ある実数 $v$ を用いて $$\overrightarrow{OE}=vp\vec a+(1-v)\vec b$$ とも表せる。$\vec a,\vec b$ の係数を比較すると $$1-u=vp,\qquad uq=1-v.$$ 第2式から $v=1-uq$ なので，第1式に代入して $$\displaystyle 1-u=p(1-uq),\qquad u=\frac{1-p}{1-pq}.$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OE}=\frac{p(1-q)\vec a+q(1-p)\vec b}{1-pq}.$$

・ $d=1-pq$ とおくと，$0<p,q<1$ より $d>0$ である。中点の位置ベクトルは $$\displaystyle \overrightarrow{OF}=\frac{\vec a+\vec b}{2},\quad \overrightarrow{OG}=\frac{p(1-q)\vec a+q(1-p)\vec b}{2d},\quad \overrightarrow{OH}=\frac{p\vec a+q\vec b}{2}.$$ よって $$\displaystyle \overrightarrow{FG} =-\frac{(1-p)\vec a+(1-q)\vec b}{2d},\qquad \overrightarrow{FH} =-\frac{(1-p)\vec a+(1-q)\vec b}{2}.$$ したがって $\displaystyle \overrightarrow{FG}=\frac1d\overrightarrow{FH}$ であり，$F,G,H$ は一直線上にある。

・ $d=1-pq$ は $0<d<1$ を満たすので，$1/d>1$ である。上のベクトル関係から $G$ は $F$ から $H$ へ向かう半直線上で $H$ より先にある。したがって $$\displaystyle \frac{GF}{GH} =\frac{FG}{FG-FH} =\frac{1/d}{1/d-1} =\frac1{pq}.$$ 条件 $GF:GH=7:2$ より $pq=2/7$ である。

また $AB\perp GF$ で，$\overrightarrow{FG}$ は $(1-p)\vec a+(1-q)\vec b$ の定数倍だから $$\bigl((1-p)\vec a+(1-q)\vec b\bigr)\cdot(\vec b-\vec a)=0.$$ $|\vec a|=2,\ |\vec b|=3,\ \angle AOB=2\pi/3$ より $$\displaystyle \vec a\cdot\vec a=4,\quad \vec b\cdot\vec b=9,\quad \vec a\cdot\vec b=2\cdot3\cos\frac{2\pi}{3}=-3.$$ これを代入すると $$-7(1-p)+12(1-q)=0, \quad 12q-7p=5.$$ $pq=2/7$ から $q=2/(7p)$ なので $$\displaystyle 49p^2+35p-24=0, \quad p=\frac37\ \text{または}\ p=-\frac87.$$ $0<p<1$ より $p=3/7$ であり，$q=2/(7p)=2/3$ となる。確認すると $pq=2/7$ であり，$12(1-q)-7(1-p)=0$ だから，2条件をともに満たす。