2新潟大学 2016年 数学 第2問解答・解説

(1) $OA=5$, $OB=6$, $AB=7$ より、余弦定理を用いると $$\displaystyle \cos\angle AOB=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\,OA\,OB}=\frac{25+36-49}{60}=\frac15.$$ したがって $$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\angle AOB=5\cdot6\cdot\frac15=6.$$

(2) 内分の定義から $\overrightarrow{OP}=t\vec a$。また $Q$ は $OB$ を $1:t$ に外分するので $OQ:QB=1:t$ であり、$Q$ は $B$ の外側にある。よって $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{1}{1-t}\vec b.$$ $R$ を線分 $PQ$ 上の点として $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\lambda(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})$ とおくと $$\displaystyle \overrightarrow{OR}=t(1-\lambda)\vec a+\frac{\lambda}{1-t}\vec b.$$ 一方、$R$ は辺 $AB$ 上にあるから、$\vec a,\vec b$ の係数の和は $1$ である。$D=t^2-t+1$ とおけば $$\displaystyle t(1-\lambda)+\frac{\lambda}{1-t}=1\quad\text{ならば}\quad \lambda=\frac{(1-t)^2}{D}.$$ ゆえに $$\displaystyle \overrightarrow{OR}=\frac{t^2}{D}\vec a+\frac{1-t}{D}\vec b =\frac{t^2}{t^2-t+1}\vec a+\frac{1-t}{t^2-t+1}\vec b.$$

(3) $RS\perp OB$ より、$\overrightarrow{OS}$ は $\overrightarrow{OR}$ の $\vec b$ 方向への正射影である。$\vec b\cdot\vec b=36$ と (1)(2) から $$\displaystyle \overrightarrow{OS}=\frac{\overrightarrow{OR}\cdot\vec b}{\vec b\cdot\vec b}\vec b =\frac{6t^2+36(1-t)}{36D}\vec b =\frac{t^2-6t+6}{6(t^2-t+1)}\vec b.$$

(4) $0<t<1$ では $t^2-6t+6=(1-t)^2+4(1-t)+1>0$ かつ $\displaystyle D=(t-\frac12)^2+\frac34>0$ なので $$\displaystyle |OS|=\frac{t^2-6t+6}{t^2-t+1}.$$ これが $4$ となる条件は $$t^2-6t+6=4(t^2-t+1)\quad\text{すなわち}\quad 3t^2+2t-2=0.$$ 解は $\displaystyle t=\frac{-1\pm\sqrt7}{3}$。$0<t<1$ を満たすのは $$\displaystyle \boxed{t=\frac{\sqrt7-1}{3}}$$ だけである。