2福井大学 2011年 数学 第2問解答・解説

$\varphi$=$\displaystyle \frac{1+\sqrt5}{2}$ とおく。正五角形の一辺を1、対角線を $d$ とする。正五角形 $ABCDE$ で対角線 $AC,BD$ の交点を $P$ とすると、角の大きさから $\triangle ABP$ は $36^\circ,72^\circ,72^\circ$ の二等辺三角形なので $AP=AB=1$ である。また $\triangle BCP$ と $\triangle ABC$ はともに角が $36^\circ,36^\circ,108^\circ$ で相似であり、対応する $108^\circ$ の向かいの辺はそれぞれ $BC=1, AC=d$ だから $PC=1/d$ となる。よって $d=AC=AP+PC=1+1/d$、従って $d^2=d+1$ であり、正の解は $d=\varphi$ である。

正十二面体の各頂点で交わる辺は、同じ正五角形の隣り合う二辺をなす。したがって $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$ で、任意の異なる二つの間の角は正五角形の内角 $108^\circ$ である。三角形 $AOB$ の余弦定理から $$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\frac{|\vec a|^2+|\vec b|^2-|\overrightarrow{AB}|^2}{2}=\frac{2-\varphi^2}{2}=\frac{1-\sqrt5}{4}=-\frac{1}{2\varphi}.$$ 同様に $\vec a\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec c=-1/(2\varphi)$ である。

正五角形の境界に沿う単位辺ベクトルを順に $u_0,u_1,u_2,u_3,u_4$ とすると、辺の向きは隣ごとに $72^\circ$ ずつ変わる。座標を $u_0=(1,0)$、$u_1=(\cos72^\circ,\pm\sin72^\circ)$ と取れば $u_4=(\cos72^\circ,\mp\sin72^\circ)=2\cos72^\circ u_0-u_1$ である。上で得た $\cos72^\circ=1/(2\varphi)$ より $$\displaystyle u_4=\frac{1}{\varphi}u_0-u_1,\qquad u_3=-u_0+\frac{1}{\varphi}u_4.$$ 後者も同じ座標で成分を比べれば従う。

図の面 $O-A-G-D-C$（$G$ は図中の無記名頂点）を境界順にたどると $u_0=\overrightarrow{OA}=\vec a$、$u_4=\overrightarrow{CO}=-\vec c$ である。従って $\overrightarrow{DC}=u_3=-\vec a-\vec c/\varphi$、すなわち $$\displaystyle \overrightarrow{CD}=\vec a+\frac{1}{\varphi}\vec c,\qquad \overrightarrow{OD}=\vec a+\varphi\vec c.$$ 同様に面 $O-B-J-E-C$（$J$ は無記名頂点）から $\overrightarrow{CE}=\vec b+\vec c/\varphi$、従って $\overrightarrow{OE}=\vec b+\varphi\vec c$ を得る。

次に図の面 $D-C-E-X-F$（$X$ は無記名頂点）で、境界順の最初の二辺を $u_0=\overrightarrow{DC}=-\vec a-\vec c/\varphi$、$u_1=\overrightarrow{CE}=\vec b+\vec c/\varphi$ とする。最後の辺は $u_4=\overrightarrow{FD}=u_0/\varphi-u_1$ なので $$\displaystyle \overrightarrow{DF}=-u_4=u_1-\frac{u_0}{\varphi}=\vec b+\frac{1}{\varphi}\vec a+\vec c,$$ ここで $1/\varphi+1/\varphi^2=1$ を用いた。ゆえに $$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DF}=\varphi\vec a+\vec b+\varphi^2\vec c.$$

平面 $ABD$ 内の二方向は $\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$ と $\overrightarrow{AD}=\varphi\vec c$ である。$m=\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec c=-1/(2\varphi)$ とおき、 $$\displaystyle \vec n=\vec a+\vec b+\frac{1}{\varphi}\vec c$$ とする。内積を計算すると $\vec n\cdot(\vec b-\vec a)=0$ および $\vec n\cdot\vec c=2m+1/\varphi=0$ だから、$\vec n$ は平面 $ABD$ の法線ベクトルである。また $$\displaystyle \vec n\cdot\vec a=1+m+\frac{m}{\varphi}=\frac12,$$ 同じ値が $\vec n\cdot\vec b$ と $\vec n\cdot\overrightarrow{OD}$ にも成り立つので、平面 $ABD$ の式は $\vec n\cdot\vec x=1/2$ である。さらに $\varphi^2=\varphi+1$ と $\sqrt5=2\varphi-1$ を用いると $$\displaystyle |\vec n|^2=2+\frac{1}{\varphi^2}+2m\left(1+\frac{2}{\varphi}\right)=2+\frac{1}{\varphi^2}-\frac{\sqrt5}{\varphi}=\frac{1}{\varphi^2}+\frac{1}{\varphi}=1.$$ 従って原点 $O$ からこの平面への垂線の足は $\vec n/2$ であり、$\displaystyle \overrightarrow{OH}=\frac12(\vec a+\vec b+\vec c/\varphi)$、その長さは $|OH|=1/2$ である。