1福井大学 2011年 数学 第1問解答・解説

[I] 合成変換と逆行列 点を列ベクトル $\displaystyle \binom{x}{y}$ で表す。直線 $y=kx$ の方向ベクトルは $\displaystyle \binom{1}{k}$ である。点 $P=(x,y)$ からこの直線への垂線の足は $$\displaystyle \frac{x+ky}{1+k^2}\binom{1}{k}$$ だから、対称移動 $f$ は足をはさんで反対側へ同じだけ進む写像であり、 $$\displaystyle F=\begin{pmatrix}\dfrac{1-k^2}{1+k^2}&\dfrac{2k}{1+k^2}\\[2pt] \dfrac{2k}{1+k^2}&\dfrac{k^2-1}{1+k^2}\end{pmatrix}$$ で表される。この行列は $F^2=I$ を満たす。

次に $P\ne O$ とし、$\displaystyle R=\begin{pmatrix}\cos\frac\pi4&-\sin\frac\pi4\\\sin\frac\pi4&\cos\frac\pi4\end{pmatrix}$ とおく。$\ell$ の方向ベクトルは $RP$ であり、$R$ は長さを保つ。$P$ を $\ell$ へ正射影した点は $$\displaystyle Q=\frac{P\cdot RP}{(RP)\cdot(RP)}RP.$$ ここで $\displaystyle P\cdot RP=|P|^2\cos\frac\pi4=|P|^2/\sqrt2$、$(RP)\cdot(RP)=|P|^2$ なので、$Q=RP/\sqrt2$ となる。$P=O$ でも問題文の指定と一致する。したがって $$\displaystyle G=\frac1{\sqrt2}R=\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}.$$ よって $A=GF$ であり、積を計算すると $$\displaystyle A=\frac1{2(1+k^2)}\begin{pmatrix} 1-k^2-2k&1-k^2+2k\\ 1-k^2+2k&k^2+2k-1 \end{pmatrix}.$$ また $G^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$ であるから、$F^{-1}=F$ を用いて $A^{-1}=FG^{-1}$。 $$\displaystyle A^{-1}=\frac1{1+k^2}\begin{pmatrix} 1-k^2-2k&1-k^2+2k\\ 1-k^2+2k&k^2+2k-1 \end{pmatrix}.$$ 検算として $A A^{-1}=GF(FG^{-1})=G(F^2)G^{-1}=I$。したがって、どの実数 $k$ に対しても逆行列が存在する。

[II] T(M)とD(M)の条件 $T=a+d$、$D=ad-bc$ と略記する。成分を計算すると $$M^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&d^2+bc\end{pmatrix}$$ なので、各成分を比べて $$M^2-TM+DI=O \tag{1}$$ を得る。実際、左辺の対角成分はそれぞれ $a^2+bc-(a+d)a+ad-bc=0$、$d^2+bc-(a+d)d+ad-bc=0$、非対角成分も $b(a+d)-Tb=0$、$c(a+d)-Tc=0$ である。

$\tau=T(M)$ とおく。まず $D=0$ とすると、(1) より $M^2=\tau M$。これに右から $M^{n-1}$ を掛ければ、すべての $n\ge1$ について $M^{n+1}=\tau M^n$ を得る。$t_n=T(M^n)$ とおくと、$t_1=\tau$ であり、この等式の対角成分の和を取って $t_{n+1}=\tau t_n$ となる。よって帰納法で $t_n=\tau^n$（$n\ge1$）である。つまり $T(M^n)=T(M)^n$。

逆に、すべての自然数 $n$ で $T(M^n)=T(M)^n$ と仮定する。特に $n=2$ のとき、上の $M^2$ の成分表示から $$T(M^2)=a^2+d^2+2bc=(a+d)^2-2(ad-bc)=T(M)^2-2D(M).$$ 仮定より左辺は $T(M)^2$ でもあるので $2D(M)=0$、すなわち $D(M)=0$ である。以上より二条件は同値。