3福井大学 2011年 数学 第3問解答・解説

楕円上の点を $X=x/a,\ Y=y/b$ と置くと、楕円は $X^2+Y^2=1$ となり、$P=(0,-1),\ Q=(\cos\theta,\sin\theta)$。元の座標の接線の傾きは陰関数微分から、点 $Q$ で $$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{b\cos\theta}{a\sin\theta}.$$ したがって $X,Y$ 座標での傾きは $(a/b)(dy/dx)=-\cos\theta/\sin\theta$ である。$P$ を通る平行線は $Y+1=-(\cos\theta/\sin\theta)X$。この直線上の点を $(X,Y)=(t\sin\theta,-1-t\cos\theta)$ と置き、単位円に代入すると $$t^2\sin^2\theta+(1+t\cos\theta)^2=1,\qquad t(t+2\cos\theta)=0.$$ $t=0$ は $P$ なので、もう一つの交点は $t=-2\cos\theta$。従って $R$ の規格化座標は $(-\sin2\theta,\cos2\theta)$、元の座標では $$\boxed{R=(-a\sin2\theta,\ b\cos2\theta)}.$$

三角形の面積公式を内積から導く。$u=Q-P,\ v=R-P$ とし、両者のなす角を $\phi$ とする。三角形の面積は $\displaystyle S=\frac12|u||v|\sin\phi$ で、内積は $u\cdot v=|u||v|\cos\phi$ だから $$(2S)^2=|u|^2|v|^2-(u\cdot v)^2.$$ ここで $$u=(a\cos\theta,\ b(1+\sin\theta)),\quad v=(-2a\sin\theta\cos\theta,\ 2b\cos^2\theta).$$ $s=\sin\theta,\ c=\cos\theta$ と書けば $$|u|^2=a^2c^2+b^2(1+s)^2,\quad |v|^2=4a^2s^2c^2+4b^2c^4,\quad u\cdot v=2c^2\{-a^2s+b^2(1+s)\}.$$ これらを上の式へ代入して整理すると $$|u|^2|v|^2-(u\cdot v)^2=4a^2b^2c^2(1+s)^2.$$ $0<s<1$ と $c>0$ なので平方根を正にとり、$S=ab\cos\theta(1+\sin\theta)$ を得る。

$s=\sin\theta$ と置くと $0<s<1,\ \cos\theta=\sqrt{1-s^2}$ だから $$\displaystyle \frac{S}{ab}=g(s)=(1+s)\sqrt{1-s^2},\qquad g'(s)=\frac{(1+s)(1-2s)}{\sqrt{1-s^2}}.$$ 分母と $1+s$ は正である。よって $g'$ は $0<s<1/2$ で正、$1/2<s<1$ で負。最大は $s=1/2$、すなわち $\theta=\pi/6$ で達し、 $$\displaystyle S_{\max}=ab\cdot\frac32\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\boxed{\frac{3\sqrt3}{4}ab},\qquad Q=\boxed{\left(\frac{\sqrt3}{2}a,\frac12b\right)}.$$

楕円 $C$ の正の $x$ 座標をもつ焦点は $F=(\sqrt{a^2-b^2},0)$。比較する座標はともに正なので、二乗差を計算すると $$\displaystyle x_F^2-x_Q^2=(a^2-b^2)-\frac34a^2=\frac14a^2-b^2.$$ 従って $b<a/2$ なら $x_Q<x_F$、$b=a/2$ なら等しく、$b>a/2$ なら $x_Q>x_F$。