4福井大学 2011年 数学 第4問解答・解説

解説

最初の項を計算すると、$f_1=x(e^{2x}+1)$、$f_2=x^2(e^{2x}+1)$ となるので、一般形は $f_n=x^n(e^{2x}+1)$ と推測できます。

帰納法では、この一般形を微分した式を積分漸化式の被積分関数と比べます。被積分関数との差は $2t^n$ です。その積分 $2x^{n+1}/(n+1)$ が漸化式末尾の減算項とちょうど相殺するため、次の $n$ にも同じ形が成り立ちます。

一般項を微分して $x=1/2$ を代入すると、$2^{-(n-1)}$ と $n2^{-(n-1)}$ の二つの級数に分かれます。前者は公比 $1/2$ の等比級数、後者はその和の公式を微分して得られる $4$ なので、和は $6e+4$ です。

原本は固定PDF `12/2011/m12112.pdf` p.9で確認し、固定OCR本文と照合しました。凍結run manifestと親提示input hash、およびPDF/OCR hashは一致しています。条件不足はありません。独立V前の作者答案です。

級数の計算は、$\displaystyle \text{有限和 }\sum\limits _{n=1}^N nr^{n-1}=\frac{1-(N+1)r^N+Nr^{N+1}}{(1-r)^2}\text{ に }r=\frac12\text{ を代入し、}N\to\infty\text{ とすれば }4\text{ です（問題文で許される }Nr^N\to0\text{ を用いる）。}$