2山口大学 2010年 数学 第2問解答・解説

解答（収束部分の高校範囲での証明） (1) $a_1=1/2$ は範囲内。$1/3<a_n<1$ なら，指数関数の単調性から $e^{-1}<a_{n+1}<e^{-1/3}<1$。仮定 $e<3$ より $e^{-1}>1/3$ なので，帰納的に $1/3<a_n<1$。

(2) $F(x)=e^{-x}-x$ とおくと $F'(x)=-e^{-x}-1<0$ だから、$x_1<x_2$ ならば $F(x_1)>F(x_2)$ が成り立つ。$F(1/3)>0$（$e^{-1/3}>1/3$）であり，$F(1)=e^{-1}-1<0$。中間値の定理とこの減少の性質から $1/3<x<1$ の範囲にただ1つの零点 $\alpha$ がある。区間外にも根はなく，$F$ は全実数上で異なる2点では同じ値をとらないから実根はこれだけ。

(3) 平均値の定理より，$1/3<x_1<1$, $1/3<x_2<1$ に対しある $\xi$ が両者の間にあり， $$|e^{-x_2}-e^{-x_1}|=e^{-\xi}|x_2-x_1|\le e^{-1/3}|x_2-x_1|.$$

(4) $c=e^{-1/3}<1$ とおく。(2)より $1/3<\alpha<1$ かつ $e^{-\alpha}=\alpha$ であり，(1)より各 $1/3<a_n<1$ であるから，(3)の評価を $x_1=a_n,\ x_2=\alpha$ に用いると $$|a_{n+1}-\alpha|=|e^{-a_n}-e^{-\alpha}|\le c|a_n-\alpha|.$$ これを繰り返せば $|a_{n+1}-\alpha|\le c^n|a_1-\alpha|$。$0<c<1$ より右辺は $n\to\infty$ で $0$ に近づくので，$a_n\to\alpha$。これは数列の収束定理を別に用いず，求める収束を直接示している。