4大阪大学 2022年 数学 第4問解答・解説

$g(x)=\log(x+1)+1-x$ とおくと $g'(x)=-x/(x+1)<0$ ($x>0$)。また $g(1)=\log2>0$、$g(3)=2\log2-2<0$（$\log2<1$）なので、中間値の定理と単調性により正の解 $\alpha$ はただ一つで、$\alpha>1$。

$0<x<\alpha$ に対し $u=(\alpha-x)/(x+1)>0$ とおく。$f(\alpha)=\alpha$ より $\alpha-f(x)=\log(1+u)$。$0<\log(1+u)<u$ を使うと $$\displaystyle 0<\frac{\alpha-f(x)}{\alpha-x}=\frac{\log(1+u)}{(x+1)u}<\frac1{x+1}=f'(x).$$

$x_1=1$ で $1\le x_1<\alpha$。$1\le x_n<\alpha$ なら $x_{n+1}=f(x_n)>1$ かつ上の不等式から $f(x_n)<\alpha$。ゆえに帰納法で $1\le x_n<\alpha$。さらに $$\displaystyle 0<\frac{\alpha-x_{n+1}}{\alpha-x_n}<f'(x_n)=\frac1{x_n+1}\le\frac12,$$ したがって $0<\alpha-x_n\le(\alpha-1)/2^{n-1}\to0$。よって $x_n\to\alpha$。

$f(x)=\log(x+1)+1$ の不動点$\alpha$は一意。$0<x<\alpha$ で$\displaystyle 0<\frac{\alpha-f(x)}{\alpha-x}<f'(x)$。数列$x_1=1,\ x_{n+1}=f(x_n)$について$\displaystyle \alpha-x_{n+1}<\frac12(\alpha-x_n)$、よって$x_n\to\alpha$。