I日本医科大学 2015年 数学 第I問解答・解説

問1：正三角形上の移動

時刻 $n$ にAにいる確率を $p_n$ とします。Aにいる場合は確率 $1/4$ でAにとどまり、BまたはCにいる場合は次にAへ移る確率がそれぞれ $3/8$ です。したがって $\displaystyle p_{n+1}=\frac14p_n+\frac38(1-p_n)=\frac38-\frac18p_n$。 固定値は $1/3$ で、そこからの差は毎回 $-1/8$ 倍。初期値 $p_0=1$ より $p_n=1/3+(2/3)(-1/8)^n$、極限は $p=1/3$ です。

最後の条件は $(2/3)8^{-n}<5^{-20}$。常用対数をとると $n>15.28\ldots$ となるので最小値は16です。

問2：領域内の最大・最小

実現可能な $x$ は $2\leq x\leq5$ です。下側境界は $2\leq x\leq4$ で $y=x/2-1$、$4\leq x\leq5$ で $y=2x-7$。上側境界は $y=-x^2+8x-12$ です。分母も分子も正なので、固定した $x$ では目的の分数は $y$ とともに増えます。

上側境界の分数は $(-x^2+8x-11)/(x+1)^2$ で、導関数は $10(3-x)/(x+1)^3$。最大は $x=3,y=3$ のとき $1/4$。下側境界の分数は、折れ点 $x=4$ まで減少し、その後増加するので最小は $(4,1)$ のとき $2/25$ です。

この分数を $R=(y+1)/(x+1)^2$ とおくと、値域は $2/25\le R\le1/4$ です。この範囲では $R+1/R$ は減少するため、最小値は $17/4$、最大値は $629/50$ です。

答

問1：$p_{n+1}=3/8-p_n/8$、$p_n=1/3+(2/3)(-1/8)^n$、$p=1/3$、最小の $n=16$。 問2(1)：最大値 $1/4$（点 $(3,3)$）、最小値 $2/25$（点 $(4,1)$）。 問2(2)：最小値 $17/4$、最大値 $629/50$。