II日本医科大学 2015年 数学 第II問解答・解説

[II] 極限（訂正版）

問1. 原文は $1/(n+1/2)$ から $1/(2n)$ までの $2n$ 項である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^{2n}\frac1{n+k/2} &=2\left(\frac1{2n}\sum\limits _{k=1}^{2n}\frac1{1+k/(2n)}\right)\\ &\longrightarrow 2\int_0^1\frac{dx}{1+x}=2\log2. \end{aligned}$$

問2. 分母は $n+(2k-1)/2$、$1\le k\le2n$ で、最後の項は $2/(6n-1)$ である。中点リーマン和により $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{2n}\frac1{n+(2k-1)/2} =\frac1n\sum\limits _{k=1}^{2n}\frac1{1+(2k-1)/(2n)} \longrightarrow\int_0^2\frac{dx}{1+x}=\log3.$$

問3. 積の対数を取り $u=k/n$ のリーマン和にすると、極限の対数は $$\displaystyle \int_1^2\sin(\pi u)\log\left(1+\sin\frac{\pi u}{2}\right)du.$$ $\theta=\pi u/2$ と置換してから $v=1+\sin\theta$ と置けば $$\displaystyle \frac4\pi\int_{\pi/2}^{\pi}\sin\theta\cos\theta\log(1+\sin\theta)d\theta =\frac4\pi\int_2^1(v-1)\log v\,dv=-\frac1\pi.$$ ゆえに求める極限値は $\boxed{e^{-1/\pi}}$。