III横浜市立大学 2014年 数学 第III問解答・解説

(1) $r=\sqrt{t^2+\alpha}$ とおくと $\displaystyle r'=\frac{t}{r}$ である。また $\alpha>0$ より $r>|t|$ なので $t+r>0$ であり、 $$\displaystyle \frac{d}{dt}\log(t+r)=\frac{1+r'}{t+r} =\frac{1+t/r}{t+r} =\frac{1}{r}.$$ したがって $$\displaystyle F'(t)=\frac12\left(r+\frac{t^2}{r}+\frac{\alpha}{r}\right) =\frac12\left(r+\frac{t^2+\alpha}{r}\right) =r=\sqrt{t^2+\alpha}.$$

(2) $y_1^2=4ax_1, y_1>0, a>0$ より $x_1>0$ である。放物線の上側は $y=2\sqrt{ax} (x>0)$ と表され、 $$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt a}{\sqrt x}.$$ よって、問題文の定義に従って $$\displaystyle L=\lim\limits _{s\to+0}\int_s^{x_1}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx =\lim\limits _{s\to+0}\int_s^{x_1}\sqrt{\frac{x+a}{x}}\,dx.$$ ここで $t=\sqrt x$ とおくと $dx=2t\,dt$ であり、積分区間では $t>0$ だから $$\displaystyle L=\lim\limits _{s\to+0}2\int_{\sqrt s}^{\sqrt{x_1}}\sqrt{t^2+a}\,dt.$$

(1) で $\alpha=a$ とした $F(t)$ はこの被積分関数の原始関数である。したがって $$\displaystyle L=\lim\limits _{s\to+0}2\{F(\sqrt{x_1})-F(\sqrt s)\} =2F(\sqrt{x_1})-2F(0),$$ ここで $\displaystyle F(0)=\frac a2\log\sqrt a$ を用いた。よって $$\displaystyle L=\sqrt{x_1(x_1+a)} +a\log\left(\frac{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_1+a}}{\sqrt a}\right).$$ この式を $x_1$ で微分すると $$\displaystyle \frac{2x_1+a}{2\sqrt{x_1(x_1+a)}}+ \frac{a}{2\sqrt{x_1(x_1+a)}} =\sqrt{\frac{x_1+a}{x_1}},$$ となり、弧長積分の被積分関数と一致する。また $x_1\to+0$ で右辺の弧長表示は $0$ に近づくので、始点 $O$ からの長さとしても整合する。