3東京大学 2011年 数学 第3問解答・解説

円の半径は $t$ であり、弧度法での中心角を $\theta(t)$ とすると、弧長の公式 $t\theta(t)=L$ より $\theta(t)=L/t$ である。したがって $$\displaystyle u(t)=t\cos\frac{L}{t},\qquad v(t)=t\sin\frac{L}{t}.$$

$\theta=L/t$ とおけば $\theta'=-L/t^2$ だから、 $$\displaystyle u'=\cos\theta+\frac Lt\sin\theta,\qquad v'=\sin\theta-\frac Lt\cos\theta.$$ よって交差項が打ち消し合い、 $$\displaystyle (u')^2+(v')^2 =\left(\cos\theta+\frac Lt\sin\theta\right)^2 +\left(\sin\theta-\frac Lt\cos\theta\right)^2 =1+\frac{L^2}{t^2}.$$ $t>0$ より速さは $\sqrt{t^2+L^2}/t$ である。

$y=\sqrt{t^2+L^2}$ と置換すると $dy=(t/y)\,dt$、また $t^2=y^2-L^2$ なので、 $$\displaystyle \begin{aligned} \int\frac{\sqrt{t^2+L^2}}{t}\,dt &=\int\frac{y^2}{y^2-L^2}\,dy\\ &=\int\left(1+\frac{L^2}{y^2-L^2}\right)\,dy\\ &=\int\left(1+\frac L2\left(\frac1{y-L}-\frac1{y+L}\right)\right)\,dy\\ &=y+\frac L2\log\frac{y-L}{y+L}+C. \end{aligned}$$ ここで $y-L=t^2/(y+L)$ を用いれば、原始関数は $$\displaystyle F(t)=\sqrt{t^2+L^2} -L\log\frac{L+\sqrt{t^2+L^2}}{t}$$ と書ける。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} f(a)&=F(1)-F(a)\\ &=\sqrt{1+L^2}-\sqrt{a^2+L^2} +L\log\left(\frac{(L+\sqrt{a^2+L^2})/a} {(L+\sqrt{1+L^2})/1}\right). \end{aligned}$$

最後に、 $$f(a)=-L\log a+ \left[ \sqrt{1+L^2}-\sqrt{a^2+L^2} +L\log(L+\sqrt{a^2+L^2}) -L\log(L+\sqrt{1+L^2}) \right].$$ 角括弧内は $a\to+0$ で有限値に収束する一方、$\log a\to-\infty$ である。ゆえに $$\displaystyle \lim\limits _{a\to+0}\frac{f(a)}{\log a}=-L.$$