1東京大学 2011年 数学 第1問解答・解説

(1) 円の中心 $P(0,1)$ と直線 $y=a(x+1)$ の距離を $d$ とする。直線を標準形にすると $$ax-y+a=0.$$ 点と直線の距離の公式より $$\displaystyle d=\frac{|a\cdot0-1+a|}{\sqrt{a^2+1}} =\frac{1-a}{\sqrt{1+a^2}}.$$ 条件 $0<a<1$ から $d>0$ であり、 $$\displaystyle 1-d^2=1-\frac{(1-a)^2}{1+a^2}=\frac{2a}{1+a^2}>0$$ だから $d<1$。半径1の円の中心から直線までの距離が1より小さいので、直線は円と2点 $Q,R$ で交わる。

中心 $P$ から弦 $QR$ に垂線を下ろし、その足を $M$ とする。二等辺三角形 $PQR$ の高さは底辺を二等分するので $MQ=MR$。直角三角形 $PMQ$ で $PQ=1$、$PM=d$ より、三平方の定理から $$MQ=\sqrt{1-d^2},\qquad QR=2\sqrt{1-d^2}.$$ 従って $$\displaystyle S(a)=\frac12 QR\cdot PM=d\sqrt{1-d^2} =\boxed{\frac{(1-a)\sqrt{2a}}{1+a^2}}.$$

(2) $S(a)>0$ なので、$S(a)$ と $S(a)^2$ は同じ $a$ で最大になる。$u=d^2$ とおくと $0<u<1$ であり、 $$\displaystyle S(a)^2=d^2(1-d^2)=u(1-u) =\frac14-\left(u-\frac12\right)^2\le\frac14.$$ 等号は $\displaystyle u=\frac12$、つまり $\displaystyle d^2=\frac12$ のときに限る。これを $a$ について解くと $$\displaystyle \frac{(1-a)^2}{1+a^2}=\frac12 \text{、すなわち } a^2-4a+1=0 \text{、すなわち } a=2\pm\sqrt3.$$ 条件 $0<a<1$ に合うのは $a=2-\sqrt3$ だけである。この値では上の等号が成り立つから $$\displaystyle \boxed{a=2-\sqrt3\text{ のとき最大値 }S(a)=\frac12.}$$